Question

14．對(duì)任意x∈R^*，不等式lnx≤ax恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． （0，$\frac{1}{e}$）
• B． [$\frac{1}{e}$，+∞）
• C． （-∞，$\frac{1}{e}$]
• D． [e，+∞）

Answer 1

分析 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)任意x∈R^*，不等式lnx-ax≤0恒成立，令f（x）=lnx-ax，（x＞0），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：對(duì)任意x∈R^*，不等式lnx≤ax恒成立，
即對(duì)任意x∈R^*，不等式lnx-ax≤0恒成立，
令f（x）=lnx-ax，（x＞0），則f′（x）=$\frac{1}{x}$-a，
a≤0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增，無(wú)最大值，不合題意，
a＞0時(shí)，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜$\frac{1}{a}$，令f′（x）＜0，解得：x＞$\frac{1}{a}$，
故f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）遞增，在（$\frac{1}{a}$，+∞）遞減，
故f（x）max=f（$\frac{1}{a}$）=ln$\frac{1}{a}$-1≤0，
解得：a≥$\frac{1}{e}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．