Question

設△ABC的內角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且

a

c

cosB-

b

c

cosA=cos

π

3

．
（Ⅰ）若tanA=k•tanB，求k的值；
（Ⅱ）求tan（A-B）的最大值，并判斷當tan（A-B）取最大值時△ABC的形狀．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用正弦定理化簡已知的等式，變形后再利用誘導公式及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，整理后利用同角三角函數(shù)間的基本關系得出tanA=3tanB，由tanA=ktanB，得出k的值為3；
（Ⅱ）由tanA=3tanB，設tanA=t（t＞0），得到tanB=3t，利用兩角和與差的正切函數(shù)公式化簡tan（A-B），將設出的tanA及tanB代入，整理后利用基本不等式變形求出tan（A-B）的最大值，以及此時t的值，確定出tanA和tanB的值，利用特殊角的三角函數(shù)值確定出A和B的度數(shù)，利用三角形的內角和定理求出C的度數(shù)，即可判斷出三角形的形狀．

解答：解：（Ⅰ）將

a

c

cosB-

b

c

cosA=cos

π

3

=

1

2

利用正弦定理化簡得：

sinA

sinC

cosB-

sinB

sinC

cosA=

1

2

，即2sinAcosB-2sinBcosA=sinC，
又sinC=sin[π-（A+B）]=sin（A+B），
∴2sinAcosB-2sinBcosA=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，
整理得：sinAcosB=3sinBcosA，
∴tanA=3tanB，又tanA=ktanB，
則k=3；
（Ⅱ）設tanB=t（t＞0），則tanA=3t，
∵

1

t

+3t≥2

3

（當且僅當

1

t

=3t，即t=

3

3

時取等號），
∴tan（A-B）=

tanA-tanB

1+tanAtanB

=

3t-t

1+3t2

=

2t

1+3t2

=

2

1 t +3t

≤

3

3

，
∴tanB=t=

3

3

，tanA=3t=

3

，
∴B=

π

6

，A=

π

3

，
則C=

π

2

，即△ABC為直角三角形．

點評：此題考查了正弦定理，兩角和與差的正弦、正切函數(shù)公式，誘導公式，以及基本不等式的運用，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．