Question

在三角形ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，

m

=（2b-c，cosC），

.

n

=（a，cosA），且

m

∥

.

n

．
（1）求角A的大��；
（2）當(dāng)

π

6

＜B＜

π

2

時，求函數(shù)y=2sin²B+cos（

π

3

-2B）的值域．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)向量平行的充要條件列式：（2b-c）cosA=acosC，結(jié)合正弦定理與兩角和的正弦公式，化簡可得2sinBcosA=sin（A+C），最后用正弦的誘導(dǎo)公式化簡整理，可得cosA=

1

2

，從而得到角A的大��；
（2）將函數(shù)用降次公式與兩角差的余弦公式展開，化簡整理得y=1+sin（2B-

π

6

），結(jié)合A=

π

3

討論銳角B的范圍，從而得到2B-

π

6

的取值范圍，由此不難得到函數(shù)y=2sin²B+cos（

π

3

-2B）的值域．

解答：解：（1）∵

m

=（2b-c，cosC），

.

n

=（a，cosA），且

m

∥

.

n

        
∴（2b-c）cosA=acosC即（2sinB-sinC）cosA-sinAcosC=0（2分）
化簡，得2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC=sin（A+C）
∵A+B+C=π，
∴2sinBcosA=sin（π-B）=sinB…（4分）
∵在銳角三角形ABC中，sinB＞0
∴兩邊約去sinB，得cosA=

1

2

，
結(jié)合A是三角形的內(nèi)角，得A=

π

3

…（6分）
（2）∵銳角三角形ABC中，A=

π

3

，∴

π

6

＜B＜

π

2

…（7分）
∴y=2sin²B+cos（

π

3

-2B）=1-cos2B+

1

2

cos2B+

3

2

sin2B
=1+

3

2

sin2B-

1

2

cos2B=1+sin（2B-

π

6

）…（9分）
∵

π

6

＜B＜

π

2

，∴

π

6

＜2B-

π

6

＜

5π

6

∴

1

2

＜sin（2B-

π

6

）≤1，可得

3

2

＜y≤2
∴函數(shù)y=2sin²B+cos（

π

3

-2B）的值域為（

3

2

，2]．…（12分）

點(diǎn)評：本題給出向量平行，通過列式化簡求A的大小，并求關(guān)于B的三角式的取值范圍．著重考查了平面向量平行、三角恒等化簡、正弦定理和誘導(dǎo)公式等知識，屬于中檔題．