Question

如圖，多面體ABCD-EFG中，底面ABCD為正方形，GD∥FC∥AE，AE⊥平面ABCD，其正視圖、俯視圖如下：
（I）求證：平面AEF⊥平面BDG；
（II）若存在λ＞0使得

AK

=λ

AE

，二面角A-BG-K的大小為60°，求λ的值．

Answer 1

分析：（I）求證：平面AEF⊥平面BDG，由面面垂直的判定定理，先證線面垂直，再證面面垂直．由圖形知，可請AC⊥面BDG
（II）先假設其存在，作出相應瓣輔助線，表示出二面角，由二面角為為60°，建立關于λ的方程求求值．

解答：解：（I）連AC，BD，在正方形ABCD中，AC⊥BD，
又∵

AE∥GD∥FC AE⊥面ABCD

?

GD⊥面ABCD AE與FC共面

又AC?面ABCD，可得AC⊥GD，又AC⊥BD，GD，則AC⊥面BDG，
又由AE與FC共面，可得出平面AEF即平面AEFC，
又AC?面AEFC，故面AEFC⊥面BDG
（II）作KO⊥AG于0，OH⊥BG于H，連KH，由AE⊥面ABCD，得AE⊥AB，且正方形ABCD中，AD⊥AB，故有AB⊥面ADE，
又AE∥GD，得A，E，G，D共面，且KO?面ADE，可得出AB⊥KO，故可得出KO⊥面ABG，則OH是KH在平面ABG的射影，
又OH⊥BG且BG?平面ABG，可得出KH⊥BG，且OH⊥BG，則∠KHO是二面角A-BG-K的平面角，∠KHO=60°
由正視圖知，AE=1，所以AK=λ，
又AD=GD=2，AE∥GD，AE⊥平面ABCD，可得出GD⊥面ABCD，進而推出GD⊥AD，故得∠DATG=∠KAG=45°，且AG=2

2

，由此可得出KO=

2

2

λ，AO=

2

2

λ，GO=AG=-AO=2，
作AH'⊥BG于H′，則AH'=

AB×AG

BG

=2

2 3

×

OH

AH

=

OG

AG

∴OH=

OG

AG

×AH′=

2 2 - 2 2 λ

2 2

×2×

2 3

=

2 (2- λ 2 )

3

，tan∠KHO=

KO

OH

=

3

，
∴

2 2 λ

2 (2- λ 2 ) 3

=

3

，
∴λ=2

點評：本題考查了立體幾何中面面垂直的判定定理以及利用二面角的大小建立方程求參數，本題中第二小題難度較大，線面關系、線線關系以及面面關系都有涉及，綜合性較強．