Question

7．解關(guān)于x的不等式 $\frac{ax}{x-1}＜\frac{a-1}{x-1}$（a∈R）

Answer 1

分析 討論a=0與a＞0和a＜0時(shí)，對(duì)應(yīng)不等式的解集是什么，分別求出即可．

解答 解：原不等式可化為（x-1）[ax-（a-1）]＜0，
（1）當(dāng)a=0時(shí)，原不等式為x-1＜0，即x＜1．
（2）當(dāng)a≠0時(shí)，方程（x-1）[ax-（a-1）]=0的兩根為x₁=1，x₂=$\frac{a-1}{a}$，所以1-$\frac{a-1}{a}$=$\frac{1}{a}$．
①當(dāng)a＞0時(shí)，$\frac{1}{a}$＞0，所以1＞$\frac{a-1}{a}$．
此時(shí)不等式的解集為{x|$\frac{a-1}{a}$＜x＜1}；
②當(dāng)a＜0時(shí)，$\frac{1}{a}$＜0，所以1＜$\frac{a-1}{a}$．
此時(shí)原不等式化為（x-1）[-ax+（a-1）]＞0，不等式的解集為{x|x＞$\frac{a-1}{a}$，或x＜1}．
綜上所述，當(dāng)a＞0時(shí)，不等式的解集為{x|$\frac{a-1}{a}$＜x＜1}；
當(dāng)a=0時(shí)，不等式的解集為{x|x＜1}；
當(dāng)a＜0時(shí)，不等式的解集為{x|x＞$\frac{a-1}{a}$，或x＜1}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了含有字母系數(shù)的不等式的解法與應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)對(duì)字母系數(shù)進(jìn)行討論，是中檔題目