Question

18．設(shè)函數(shù)g（x）=a（2x-1），h（x）=（2a²+1）1nx，其中a∈R．
（Ⅰ）若直線x=2與曲線y=g（x）分別交于A、B兩點，且曲線y=g（x）在點A處的切線與曲線y=h（x）在點B處的切線相互平行，求a的值；
（Ⅱ）令f（x）=g（x）+h（x），若f（x）在[$\frac{1}{2}$，1]上沒有零點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出兩個函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)g′（x）=2a，h′（x）=$\frac{2{a}^{2}+1}{x}$，通過g′（2）=h′（2），求解a即可．
（Ⅱ）f（x）=g（x）+h（x）=a（2x-1）+（2a²+1）1nx，其定義域為：（0，+∞）．求出導(dǎo)函數(shù)，求出f（1）=a，f（$\frac{1}{2}$）=-（2a²+1）ln2＜0，通過（1）若a=0，推出f（x）在[$\frac{1}{2}$，1]上只有一個零點1，不合題意．
（2）若a＞0，推出f（x）在[$\frac{1}{2}$，1]上只有一個零點1，不合題意，（3）若a＜0，利用函數(shù)的單調(diào)性推出結(jié)果．

解答 解：（Ⅰ）因為g′（x）=2a，h′（x）=$\frac{2{a}^{2}+1}{x}$，所以g′（2）=h′（2），即2a=$\frac{2{a}^{2}+1}{2}$，
解得a=$\frac{2±\sqrt{2}}{2}$．…（4分）
（Ⅱ）f（x）=g（x）+h（x）=a（2x-1）+（2a²+1）1nx，其定義域為：（0，+∞）．
f′（x）=2a+$\frac{2{a}^{2}+1}{x}$=$\frac{2ax+2{a}^{2}+1}{x}$，
f（1）=a，f（$\frac{1}{2}$）=-（2a²+1）ln2＜0．…（6分）
（1）若a=0，則f（1）=a=0，f（$\frac{1}{2}$）=-ln2＜0，而f′（x）=$\frac{1}{x}$＞0，f（x）在[$\frac{1}{2}$，1]上單
增，所以f（x）在[$\frac{1}{2}$，1]上只有一個零點1，不合題意．
（2）若a＞0，則f（1）=a＞0，f（$\frac{1}{2}$）＜0而f′（x）＞0，f（x）在[$\frac{1}{2}$，1]上單
增，所以f（x）在[$\frac{1}{2}$，1]上只有一個零點1，不合題意．…（8分）
（3）若a＜0，則-a-$\frac{1}{2a}$$≥\sqrt{2}$，x+a+$\frac{1}{2a}$≥x-$\sqrt{2}＜0$，
所以f′（x）=$\frac{2ax+2{a}^{2}+1}{x}$＞0，f（x）在[$\frac{1}{2}$，1]上單增，
而f（1）=a＜0，f（$\frac{1}{2}$）＜0，故此時f（x）在[$\frac{1}{2}$，1]上沒有零點．
綜上可知，a的取值范圍是：（-∞，0）．             …（12分）

點評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的極值以及函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．