Question

若定義域為R的奇函數(shù)f（x）滿足f（1+x）=-f（x），則下列結(jié)論：
①f（x）的圖象關(guān)于點(

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，0)對稱；
②f（x）的圖象關(guān)于直線x=

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2

對稱；
③f（x）是周期函數(shù)，且2個它的一個周期；
④f（x）在區(qū)間（-1，1）上是單調(diào)函數(shù)．
其中正確結(jié)論的序號是

 

．（填上你認(rèn)為所有正確結(jié)論的序號）

Answer 1

分析：根據(jù)f（2+x）=-f（x+1）=f（x）可斷定函數(shù)f（x）為周期函數(shù)，故可知③正確；根據(jù)f（x）為奇函數(shù)，可知函數(shù)關(guān)于原點對稱
根據(jù)周期性及f（1+x）=-f（x）可知函數(shù)關(guān)于（k，0）對稱，排除①；根據(jù)f（1+x）=-f（x）可推知f（x+

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）=f（

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-x）進而推知f（x）的圖象關(guān)于直線x=

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2

對稱；f（x）在區(qū)間（-1，0）上和在（0，1）上均為單調(diào)函數(shù)，但在（-1，1）不是單調(diào)函數(shù)，故④不正確．

解答：解：f（2+x）=-f（x+1）=f（x），
∴函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù)，故③是正確的．
∵f（x）為定義域為R的奇函數(shù)，
∴f（x）函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，
∵f（x）為周期函數(shù)，周期為2且f（1+x）=-f（x），
∴f（x）函數(shù)圖象關(guān)于點（k，0）（k∈Z）對稱，故①不對．
∵f（1+x）=-f（x）
∴f（x+

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）=f（x-

1

2

+1）=-f（x-

1

2

）=f（

1

2

-x）
∴f（x）的圖象關(guān)于直線x=

1

2

對稱，故②正確．
f（x）在區(qū)間（-1，0）上和在（0，1）上均為單調(diào)函數(shù)，但在（-1，1）不是單調(diào)函數(shù)，故④不正確．

點評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的綜合應(yīng)用．屬基礎(chǔ)題．