設函數(shù)f（x）=ax3+3x，其圖象在點（1，f（1））處的切線l與直線x-6y-7=0垂直，則直線l與坐標軸圍成的三角形的面積為（　　）
A、1B、3C、9D、12
考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程
專題：導數(shù)的綜合應用
分析：求出原函數(shù)的導函數(shù)，得到f′（1）=3a+3，由3a+3=-6求得a的值，代入原函數(shù)解析式，求出f（1），由直線方程的點斜式得到l的方程，求出其在兩坐標軸上的截距，由三角形的面積公式得答案．
解答：解：由f（x）=ax3+3x，得
f′（x）=3ax2+3，f′（1）=3a+3．
∵函數(shù)f（x）=ax3+3x在點（1，f（1））處的切線l與直線x-6y-7=0垂直，
∴3a+3=-6，解得a=-3．
∴f（x）=-3x3+3x，
則f（1）=-3+3=0．
∴切線方程為y=-6（x-1），
即6x+y-6=0．
取x=0，得y=6，取y=0，得x=1．
∴直線l與坐標軸圍成的三角形的面積為
1
2
×6×1=3．
故選：B．
點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)在某點處的切線方程，過曲線上某點處的切線的斜率，就是函數(shù)在該點處的導數(shù)值，是中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

為了得到函數(shù)y=sin3x+cos3x的圖象，可以將函數(shù)y=
2
cos3x的圖象（　�。�
A、向右平移
π
4
個單位
B、向左平移
π
4
個單位
C、向右平移
π
12
個單位
D、向左平移
π
12
個單位

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若tan（α+
π
4
）=
1
7
，則tanα=（　�。�
A、
3
4
B、
4
3
C、-
3
4
D、-
4
3

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若tan
θ
2
-
1
tan
θ
2
=3，則sin2θ=（　�。�
A、-
12
13
B、-
3
5
C、
3
5
D、
12
13

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

過拋物線y2=4x焦點的直線交拋物線于A，B兩點，若|AB|=8，則直線AB的傾斜角為（　�。�
A、
π
6
或
5π
6
B、
π
4
或
3π
4
C、
π
3
或
2π
3
D、
π
2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知α∥β，A、C∈α，B、D∈β，直線AB、CD相交于S，且AS=8，BS=9，CD=34，則CS的長度為（　　）
A、16B、20
C、272D、16或272

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

經(jīng)過點P（-4，3），傾斜角為45°的直線方程是（　�。�
A、x+y+7=0
B、x+y-7=0
C、x-y-7=0
D、x-y+7=0

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

記函數(shù)f（x）的定義域為D，若存在x0∈D，使f（x0）=x0成立，則稱以（x0，x0）為坐標的點為函數(shù)y=f（x）圖象上的不動點．
（1）若函數(shù)f（x）=
2x-1
x+a
的圖象上有且僅有兩個不動點，試求a的取值范圍．
（2）已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R且a＞0），滿足
f(0)≥1
f(1+sina)≤1(a∈R)
，且y=f（x）的圖象上有兩個不動點（x1，x1），（x2，x2），記函數(shù)y=f（x）的對稱軸為x=x0，求證：如果x1＜2＜x2＜4，那么x0＞-1．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且（
2
a-c）cosB=bcosC，則內(nèi)角B的大小為（　�。�
A、
π
4
B、
π
3
C、
π
2
D、
2π
3

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