Question

設{a_n}是等差數(shù)列，b_n=（

1

2

）^a_n．已知b₁+b₂+b₃=

21

8

，b₁b₂b₃=

1

8

．求等差數(shù)列的通項a_n．

Answer 1

分析：因為{a_n}是等差數(shù)列，所以用a₁和d分別表示出b₁，b₂，b₃，再結合題意列出關于a₁、d的方程，求解即可．

解答：解：設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，則a_n=a₁+（n-1）d．
∴bn=(

1

2

)a1+(n-1)d
b₁b₃=(

1

2

)a1•(

1

2

)a1+2d=(

1

2

)2(a1+d)=b₂²．
由b₁b₂b₃=

1

8

，得b₂³=

1

8

，
解得b₂=

1

2

．
代入已知條件

b1b2b3= 1 8 b1+b2+b3= 21 8 .

整理得

b1b3= 1 4 b1+b3= 17 8 .

解這個方程組得b₁=2，b₃=

1

8

或b₁=

1

8

，b₃=2
∴a₁=-1，d=2或a₁=3，d=-2．
所以，當a₁=-1，d=2時
a_n=a₁+（n-1）d=2n-3．
當a₁=3，d=-2時
a_n=a₁+（n-1）d=5-2n．

點評：本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)和通項公式，考查了學生的運算能力和公式的靈活運用能力，難度中等．