Question

【題目】已知函數(shù)（）.

（1）討論函數(shù)極值點的個數(shù)，并說明理由；

（2）若， 恒成立，求的最大整數(shù)值.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時， 在上沒有極值點；當(dāng)時， 在上有一個極值點.

（2）3.

【解析】試題分析：

(1)首先對函數(shù)求導(dǎo)，然后分類討論可得當(dāng)時， 在上沒有極值點；當(dāng)時， 在上有一個極值點.

(2)結(jié)合題中所給的條件構(gòu)造新函數(shù)（），結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可得實數(shù)的最大整數(shù)值為3.

試題解析：

（1）的定義域為，且.

當(dāng)時， 在上恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞減.

∴在上沒有極值點；

當(dāng)時，令得；

列表

所以當(dāng)時， 取得極小值.

綜上，當(dāng)時， 在上沒有極值點；

當(dāng)時， 在上有一個極值點.

（2）對， 恒成立等價于對恒成立，

設(shè)函數(shù)（），則（），

令函數(shù)，則（），

當(dāng)時， ，所以在上是增函數(shù)，

又， ，

所以存在，使得，即，

且當(dāng)時， ，即，故在在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時， ，即，故在上單調(diào)遞增；

所以當(dāng)時， 有最小值，

由得，即，

所以，

所以，又，所以實數(shù)的最大整數(shù)值為3.