Question

20．對于函數(shù)f₁（x），f₂（x），h（x），如果存在實數(shù)a，b使得h（x）=a•f₁（x）+b•f₂（x），那么稱h（x）為f₁（x），f₂（x）的生成函數(shù)．
（1）給出函數(shù)${f_1}（x）=lg\frac{x}{10}，\;\;{f_2}（x）=lg10x，\;\;h（x）=lgx$，h（x）是否為f₁（x），f₂（x）的生成函數(shù)？并說明理由；
（2）設(shè)${f_1}（x）={log_2}x，\;\;{f_2}（x）={log_{\frac{1}{2}}}x，\;\;a=2，\;\;b=1$，生成函數(shù)h（x）．若不等式3h²（x）+2h（x）+t＞0在x∈[2，4]上恒成立，求實數(shù)t的取值范圍；
（3）設(shè)${f_1}（x）=x\;\;（x＞0），\;\;\;{f_2}（x）=\frac{1}{x}\;\;\;（x＞0）$，取a＞0，b＞0，生成函數(shù)h（x）圖象的最低點坐標(biāo)為（2，8）．若對于任意正實數(shù)x₁，x₂且x₁+x₂=1．試問是否存在最大的常數(shù)m，使h（x₁）h（x₂）≥m恒成立？如果存在，求出這個m的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)新定義h（x）=a•f₁（x）+b•f₂（x），判斷即可．
（2）根據(jù)新定義生成函數(shù)h（x），化簡，討論其單調(diào)性，利用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題求解最值，解決恒成立的問題．
（3）根據(jù)新定義生成函數(shù)h（x），利用基本不等式與生成函數(shù)h（x）圖象的最低點坐標(biāo)為（2，8）．求解出ab．假設(shè)最大的常數(shù)m，使h（x₁）h（x₂）≥m恒成立，帶入化簡，利用換元法與基本不等式判斷其最大值是否存在即可求解．

解答 解：（1）函數(shù)${f_1}（x）=lg\frac{x}{10}，\;\;{f_2}（x）=lg10x，\;\;h（x）=lgx$，
若h（x）是af₁（x）+bf₂（x）的生成函數(shù)，
則有：lgx=$a•lg\frac{x}{10}+b•lg10x=（a+b）lgx+（b-a）$，
由：$\left\{\begin{array}{l}{b-a=0}\\{a+b=1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，存在實數(shù)a，b滿足題意．
∴h（x）是f₁（x），f₂（x）的生成函數(shù)．
（2）由題意，${f_1}（x）={log_2}x，\;\;{f_2}（x）={log_{\frac{1}{2}}}x，\;\;a=2，\;\;b=1$，生成函數(shù)h（x）．
則h（x）=2•f₁（x）+f₂（x）=$2lo{g}_{2}x+lo{g}_{\frac{1}{2}}x=lo{g}_{2}x$
∴h（x）是定義域內(nèi)的增函數(shù)．
若3h²（x）+2h（x）+t＞0在x∈[2，4]上恒成立，
即$t＞-3{h^2}（x）-2h（x）=-3{log_2}^2x-2{log_2}x$．
設(shè)S=log₂x，則S∈[1，2]，
那么有：y=-3S²-2S，
其對稱軸S=$-\frac{1}{3}$．
∴-16≤y≤-5，
故得t＞-5．
（3）由題意，得h（x）=a•f₁（x）+b•f₂（x）=ax$+\frac{x}$，
則h（x）=ax$+\frac{x}$≥2$\sqrt{ab}$
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a+\frac{2}=8}\\{2\sqrt{ab}=8}\end{array}\right.$，解得：a=2，b=8．
∴h（x）=2x+$\frac{8}{x}$，（x＞0）
假設(shè)最大的常數(shù)m，使h（x₁）h（x₂）≥m恒成立，
令u=h（x₁）h（x₂）=$4（{x}_{1}+\frac{4}{{x}_{1}}）（{x}_{2}+\frac{4}{{x}_{2}}）=4{x}_{1}{x}_{2}+\frac{64}{{x}_{1}{x}_{2}}$$+16（\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}+\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}）$=$4{x}_{1}{x}_{2}+\frac{64}{{x}_{1}{x}_{2}}+16•\frac{{（x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$
∵x₁+x₂=1，
∴u=$4{x}_{1}{x}_{2}+\frac{80}{{x}_{1}{x}_{2}}-32$，
令t=x₁x₂，則t=x₁x₂≤$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}}{4}=\frac{1}{4}$，即$0＜t≤\frac{1}{4}$，
那么：u=4t$+\frac{80}{t}-32$，在$0＜t≤\frac{1}{4}$上是單調(diào)遞減，
∴u≥u（$\frac{1}{4}$）=289．
故最大的常數(shù)m=289．

點評 本題考查了新定義的理解和運用，構(gòu)造思想和轉(zhuǎn)化法的運用．利用了換元法與基本不等式．屬于難題．