Question

已知函數(shù)f(x)=

2x+1

x+1

（1）判斷函數(shù)在區(qū)間[1，+∞）上的單調(diào)性，并用定義證明你的結(jié)論；
（2）求該函數(shù)在區(qū)間[1，4]上的最大與最小值．

Answer 1

分析：（1）任取x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，然后通過化簡(jiǎn)變形判定f（x₁）-f（x₂）的符號(hào)，從而得到函數(shù)的單調(diào)性；
（2）根據(jù)（1）知函數(shù)f（x）在[1，4]上是增函數(shù)，將區(qū)間端點(diǎn)代入，從而求出函數(shù)最值．

解答：解：（1）任取x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，
f(x1)-f(x2)=

2x1+1

x1+1

-

2x2+1

x2+1

=

(x1-x2)

(x1+1)(x2+1)

∵x₁-x₂＜0，（x₁+1）（x₂+1）＞0，
所以，f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x₁）＜f（x₂），
所以函數(shù)f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)．
（2）由（1）知函數(shù)f（x）在[1，4]上是增函數(shù)．
最大值為f(4)=

2×4+1

4+1

=

9

5

，最小值為f(1)=

2×1+1

1+1

=

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，以及利用單調(diào)性求函數(shù)的最值，屬于中檔題．