Question

已知f （x）是R上的偶函數(shù)，且在（0，+∞）上單調(diào)遞增，并且f （x）＜0對一切x∈R成立，試判斷-

1

f(x)

在（-∞，0）上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

-

1

f(x)

是（-∞，0）上的單調(diào)遞減函數(shù)，證明如下：
設(shè)x₁＜x₂＜0，則-x₁＞-x₂＞0，
∴f（-x₁）＞f（-x₂），
∵f（x）為偶函數(shù)，
∴f（x₁）＞f（x₂）
又-

1

f(x)

-[-

1

f(x2)

]=

1

f(x2)

-

1

f(x1)

=

f(x1)-f(x2)

f(x2)f(x1)

＞0
（∵f（x₁）＜0，f（x₂）＜0）
∴-

1

f(x1)

＞-

1

f(x2)

，
∴-

1

f(x)

是（-∞，0）上的單調(diào)遞減函數(shù)．