已知某圓的方程是x2+y2=4,A、B為圓上兩動點(diǎn),M(1,1)為圓內(nèi)一定點(diǎn),若四邊形MAPB為矩形,求P點(diǎn)的軌跡方程.

解:設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1)、(x2,y2).

∵四邊形MAPB為矩形,∴AB的中點(diǎn)與MP的中點(diǎn)重合,且MA⊥MB.

于是得

且=-1.                        （2）

將（2）式整理,得

x1x2+y1y2+2=(x1+x2)+(y1+y2).                  （3）

將（1）式代入（3）式得x1x2+y1y2=x+y.             （4）

∵A、B在圓上,

∴x12+y12=4,x22+y22=4.

∴x12+y12+x22+y22=8,

即(x1+x2)2+(y1+y2)2-2(x1x2+y1y2)=8.

將（1）（4）式代入上式得(x+1)2+(y+1)2-2(x+y)=8,

化簡得x2+y2=6,這就是P點(diǎn)的軌跡方程.


練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)與向量、圓交匯．例5：已知F1、F2分別為橢圓C1：
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)的上、下焦點(diǎn)，其中F1也是拋物線C2：x2=4y的焦點(diǎn)，點(diǎn)M是C1與C2在第二象限的交點(diǎn)，且|MF1|=
5
3
．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）已知點(diǎn)P（1，3）和圓O：x2+y2=b2，過點(diǎn)P的動直線l與圓O相交于不同的兩點(diǎn)A，B，在線段AB上取一點(diǎn)Q，滿足：
AP
=-λ
PB
，
AQ
=λ
QB
，（λ≠0且λ≠±1）．問點(diǎn)Q是否總在某一定直線上？若在，求出這條直線，否則，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知F1、F2分別為橢圓C1：
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)的上、下焦點(diǎn)，其中F1也是拋物線C2：x2=4y的焦點(diǎn)，點(diǎn)M是C1與C2在第二象限的交點(diǎn)，且|MF1|=
5
3
．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）已知點(diǎn)P（1，3）和圓O：x2+y2=b2，過點(diǎn)P的動直線l與圓O相交于不同的兩點(diǎn)A，B，在線段AB上取一點(diǎn)Q，滿足：
AP
=-λ
PB
，
AQ
=λ
QB
（λ≠0且λ≠±1），
求證：點(diǎn)Q總在某條定直線上．

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與向量、圓交匯．例5：已知F1、F2分別為橢圓C1：的上、下焦點(diǎn)，其中F1也是拋物線C2：x2=4y的焦點(diǎn)，點(diǎn)M是C1與C2在第二象限的交點(diǎn)，且．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）已知點(diǎn)P（1，3）和圓O：x2+y2=b2，過點(diǎn)P的動直線l與圓O相交于不同的兩點(diǎn)A，B，在線段AB上取一點(diǎn)Q，滿足：，，（λ≠0且λ≠±1）．問點(diǎn)Q是否總在某一定直線上？若在，求出這條直線，否則，說明理由．

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如圖，已知F1、F2分別為橢圓的上、下焦點(diǎn)，其中F1也是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)M是C1與C2在第二象限的交點(diǎn)，且．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）已知點(diǎn)P（1，3）和圓O：x2+y2=b2，過點(diǎn)P的動直線l與圓O相交于不同的兩點(diǎn)A，B，在線段AB上取一點(diǎn)Q，滿足：，（λ≠0且λ≠±1），
求證：點(diǎn)Q總在某條定直線上．

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