Question

已知n為奇數(shù)，且n≥3，那么7ⁿ+C_n¹•7^n-1+C_n²•7^n-2+…+C_n^n-1•7被9除所得的余數(shù)是（ ）
A．0
B．1
C．7
D．8

Answer 1

【答案】分析：7ⁿ+C_n¹•7^n-1+C_n²•7^n-2+…+C_n^n-1•7=（7+1）ⁿ-1=（9-1）ⁿ-1，又n為奇數(shù)，且n≥3，問題解決了．
解答：解：∵7ⁿ+C_n¹•7^n-1+C_n²•7^n-2+…+C_n^n-1•7=（7+1）ⁿ-1=（9-1）ⁿ-1=9ⁿ+•9^n-1（-1）¹+•9^n-2（-1）²+…+•9•（-1）^n-1+9•（-1）ⁿ-1，
又n為奇數(shù)，且n≥3，
∴倒數(shù)第二項(xiàng)9•（-1）ⁿ=-1，最后一項(xiàng)也是-1，而從第一項(xiàng)到倒數(shù)第三項(xiàng)，每項(xiàng)都能被9整除，而n≥3時(shí)，（9-1）ⁿ為正數(shù)，
∴7ⁿ+C_n¹•7^n-1+C_n²•7^n-2+…+C_n^n-1•7被9除所得的余數(shù)是7．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，難點(diǎn)在于對(duì)“7ⁿ+C_n¹•7^n-1+C_n²•7^n-2+…+C_n^n-1•7=（9-1）ⁿ-1”的轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，屬于難題．