Question

函數f（x）=Asinωx（A＞0，ω＞0）在一個周期內圖象如圖所示，其最高點為M，最低點為N，與x軸正半軸交點為P，在△MNP中，∠MNP=30°，MP=2．
（1）判斷△MNP的形狀，并給予證明；
（2）求函數f（x）的解析式，并求f（x）最大值及此時x的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中函數f（x）=Asinωx（A＞0，ω＞0）在一個周期內圖象最高點為M，最低點為N，與x軸正半軸交點為P，△MNP中，∠MNP=30°，MP=2我們易得MN=4，利用正弦定理求了∠MPN的大小，即可判斷△MNP的形狀．
（2）由（1）中結論，我們易同M點及P點的坐標，代入分別計算出函數的最值，周期，進而求出A，ω，φ的值，即可得到函數的解析式，進而求出f（x）最大值及此時x的值．
解答：解：由函數的對稱性知：MN=2MO=2MP，∵MP=2，∴MN=4…（3分）
在△MNP中，，∴
解得：sin∠MPN=1…（5分）∴∠MPN=90°，所以△MNP為直角三角形；…（6分）
（2）由（1）得：△MOP為等邊三角形，…（7分）
故…（8分）
∴，∵ω＞0，∴∴…（10分）
f（x）最大值為，此時…（13分）
點評：本題考查的知識點是由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，三角形形狀的判斷，其中（1）的關鍵是根據函數圖象的對稱性質，求出MN=4，（2）的關鍵是根據（1）中結論計算出函數的最值，周期，進而求出A，ω，φ的值．