設(shè)函數(shù)f(x)=x+
alnxx
,其中a為常數(shù).
(1)y=f(x)的圖象是否經(jīng)過一個定點,若是,寫出該定點坐標(biāo).
(2)當(dāng)a=-1時,判斷函數(shù)是否存在極值?若存在,證明你的結(jié)論并求出所有極值;若不存在,說明理由.
分析:(1)把f(x)代入到F(x)中化簡得到F(x)的解析式求出F(x)的最小值即可;
(2)把a=-1代入得f(x)的解析式,求出f′(x)=0時x=1,因為x>0,所以在(0,1)和(1,+∞)上討論函數(shù)的增減性,即可得到函數(shù)的極值.
解答:解:(1)令lnx=0,得x=1,且f(1)=1,所以y=f(x)的圖象恒過定點(1,1);
(2)當(dāng)a=-1時,f(x)=x-
lnx
x
,x>0,
f/(x)=1-
1-lnx
x2
=
x2+lnx-1
x2

經(jīng)觀察得f′(x)=0有根x=1,
令g(x)=x2+lnx-1,g/(x)=2x+
1
x

當(dāng)x>0時,g′(x)>0,
即y=g(x)在(0,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù).
所以f′(x)=0有唯一根x=1.
當(dāng)x∈(0,1)時,f/(x)=
g(x)
x2
g(1)
x2
=0
,f(x)在(0,1)上是減函數(shù);
當(dāng)x∈(1,+∞)時,f/(x)=
g(x)
x2
g(1)
x2
=0
,f(x)在(1,+∞)上是增函數(shù).
∴x=1是f(x)的唯一極小值點.極小值是f(1)=1-
ln1
1
=1
點評:本題考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=a2x2(a>0),g(x)=blnx.
(1)若函數(shù)y=f(x)圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為
2
,求a的值;
(2)關(guān)于x的不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整數(shù)恰有3個,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)對于函數(shù)f(x)與g(x)定義域上的任意實數(shù)x,若存在常數(shù)k,m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m都成立,則稱直線y=kx+m為函數(shù)f(x)與g(x)的“分界線”.設(shè)a=
2
2
,b=e,試探究f(x)與g(x)是否存在“分界線”?若存在,求出“分界線”的方程;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為A,若存在非零實數(shù)t,使得對于任意x∈C(C⊆A),有x+t∈A,且f(x+t)≤f(x),則稱f(x)為C上的t低調(diào)函數(shù).如果定義域為[0,+∞)的函數(shù)f(x)=-|x-m2|+m2,且 f(x)為[0,+∞)上的10低調(diào)函數(shù),那么實數(shù)m的取值范圍是( 。
A、[-5,5]
B、[-
5
,
5
]
C、[-
10
,
10
]
D、[-
5
2
,
5
2
]

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且f(x+2)=f(x)恒成立;當(dāng)x∈[0,1]時,f(x)=x3-4x+3.有下列命題:
f(-
3
4
) <f(
15
2
)
;
②當(dāng)x∈[-1,0]時f(x)=x3+4x+3;
③f(x)(x≥0)的圖象與x軸的交點的橫坐標(biāo)由小到大構(gòu)成一個無窮等差數(shù)列;
④關(guān)于x的方程f(x)=|x|在x∈[-3,4]上有7個不同的根.
其中真命題的個數(shù)為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:徐州模擬 題型:解答題

設(shè)函數(shù)f(x)=a2x2(a>0),g(x)=blnx.
(1)若函數(shù)y=f(x)圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為2
2
,求a的值;
(2)關(guān)于x的不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整數(shù)恰有3個,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)對于函數(shù)f(x)與g(x)定義域上的任意實數(shù)x,若存在常數(shù)k,m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m都成立,則稱直線y=kx+m為函數(shù)f(x)與g(x)的“分界線”.設(shè)a=
2
2
,b=e,試探究f(x)與g(x)是否存在“分界線”?若存在,求出“分界線”的方程;若不存在,請說明理由.

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