Question

（2012•上海）如圖，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面邊長(zhǎng)為1，高為2，M為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)．
求：（1）三棱錐C₁-MBC的體積；
（2）異面直線(xiàn)CD與MC₁所成角的大�。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）．

Answer 1

分析：（1）連接CM，根據(jù)M為AB中點(diǎn)，且正方形ABCD邊長(zhǎng)為1，得到△BCM的面積為S=

1

4

S_{正方形ABCD}=

1

4

．因?yàn)镃C₁⊥平面ABCD，是三棱錐C₁-MBC的高，所以利用錐體體積公式，可得三棱錐C₁-MBC的體積；
（2）連接BC₁，正方形ABCD中，因?yàn)镃D∥AB，所以∠C₁MB（或其補(bǔ)角）為異面直線(xiàn)CD與MC₁所成的角．Rt△MC₁B中，可算出BC₁=

5

，而MB=

1

2

AB=

1

2

，利用直角三角形中三角函數(shù)的定義，得到tan∠C₁MB=

BC1

BM

=2

5

，所以異面直線(xiàn)CD與MC₁所成角為arctan2

5

．

解答：解：（1）連接CM，
∵正方形ABCD中，M為AB中點(diǎn)，且邊長(zhǎng)為1，
∴△BCM的面積為S=

1

4

S_{正方形ABCD}=

1

4

．
又∵CC₁⊥平面ABCD，
∴CC₁是三棱錐C₁-MBC的高，
∴三棱錐C₁-MBC的體積為：V_C1-MBC=

1

3

×

1

4

×2=

1

6

；
（2）連接BC₁
∵CD∥AB，
∴∠C₁MB（或其補(bǔ)角）為異面直線(xiàn)CD與MC₁所成的角．
∵AB⊥平面B₁C₁CB，BC₁?平面B₁C₁CB，
∴AB⊥BC₁．
Rt△MC₁B中，BC₁=

BC2+CC12

=

5

，MB=

1

2

AB=

1

2

∴tan∠C₁MB=

BC1

BM

=2

5

所以異面直線(xiàn)CD與MC₁所成角為arctan2

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題給出一個(gè)特殊的正三棱柱，求其中的異面直線(xiàn)所成角和三棱錐體積，著重考查了棱錐的體積公式和異面直線(xiàn)及其所成的角等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．