函數(shù)數(shù)學(xué)公式,其中a為常數(shù).
(1)證明:對(duì)任意a∈R,函數(shù)y=f(x)圖象恒過定點(diǎn);
(2)當(dāng)a=1時(shí),不等式f(x)+2b≤0在x∈(0,+∞)上有解,求實(shí)數(shù)b的取值范圍;
(3)若對(duì)任意a∈[m,0)時(shí),函數(shù)y=f(x)在定義域上恒單調(diào)遞增,求m的最小值.

(1)證明:令lnx=0,得x=1,且f(1)=1,
∴函數(shù)y=f(x)圖象恒過定點(diǎn)(1,1). …(2分)
(2)解:當(dāng)a=1時(shí),,
,即,
令f'(x)=0,得x=1.
x(0,1)1(1,+∞)
f'(x)
-
0+
f(x)極小值
∴fmin(x)=f(1)=1,
∵f(x)+2b≤0在x∈(0,+∞)上有解,
∴-2b≥fmin(x),即-2b≥1,
∴實(shí)數(shù)b的取值范圍為.…(9分)
(3)解:,即,令g(x)=x2+alnx-a,
由題意可知,對(duì)任意a∈[m,0),f'(x)≥0在x∈(0,+∞)恒成立,
即h(x)=x2+alnx-a≥0在x∈(0,+∞)恒成立.
,令h'(x)=0,得(舍)或
列表如下:
x(0,,+∞)
h'(x)-0+
h(x)極小值
,解得a≥-2e3
∴m的最小值為-2e3. …(16分)
分析:(1)令lnx=0,得x=1,且f(1)=1,由此可得結(jié)論;
(2)利用f(x)+2b≤0在x∈(0,+∞)上有解,可得-2b≥fmin(x),求出函數(shù)的最小值,即可求實(shí)數(shù)b的取值范圍;
(3)對(duì)任意a∈[m,0)時(shí),函數(shù)y=f(x)在定義域上恒單調(diào)遞增,等價(jià)于對(duì)任意a∈[m,0),f'(x)≥0在x∈(0,+∞)恒成立,即h(x)=x2+alnx-a≥0在x∈(0,+∞)恒成立,由此可得結(jié)論.
點(diǎn)評(píng):本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用,考查函數(shù)的最值,考查恒成立問題,確定函數(shù)的最值是關(guān)鍵.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(08年崇文區(qū)統(tǒng)一練習(xí)一)(14分)

已知定義在R上的函數(shù),其中a為常數(shù).

   (I)若x=1是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn),求a的值;

   (II)若函數(shù)在區(qū)間(-1,0)上是增函數(shù),求a的取值范圍;

   (III)若函數(shù),在x=0處取得最大值,求正數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù),其中a為常數(shù)且,令函數(shù)的積函數(shù)。

   (1)求函數(shù)的表達(dá)式,并求其定義域。

   (2)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的值域

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年廣東省揭陽市普寧市普師高級(jí)中學(xué)高三(上)摸底數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

設(shè)函數(shù),其中a為常數(shù).
(1)證明:對(duì)任意a∈R,y=f(x)的圖象恒過定點(diǎn);
(2)當(dāng)a=-1時(shí),判斷函數(shù)y=f(x)是否存在極值?若存在,證明你的結(jié)論并求出所有極值;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010年廣東省湛江市高考數(shù)學(xué)一模試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

設(shè)函數(shù),其中a為常數(shù).
(1)證明:對(duì)任意a∈R,y=f(x)的圖象恒過定點(diǎn);
(2)當(dāng)a=-1時(shí),判斷函數(shù)y=f(x)是否存在極值?若存在,證明你的結(jié)論并求出所有極值;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年北京四中高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)文卷 題型:解答題

(本小題滿分13分)已知:定義在R上的函數(shù),其中a為常數(shù)。

  (1)若,求:的圖象在點(diǎn)處的切線方程;

(2)若是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn),求:實(shí)數(shù)a的值;

(3)若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),求:實(shí)數(shù)a的取值范圍。

 

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