（2013•松江區(qū)一模）對(duì)于雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1，(a＞0，b＞0)，定義C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1，為其伴隨曲線，記雙曲線C的左、右頂點(diǎn)為A、B．
（1）當(dāng)a＞b時(shí)，記雙曲線C的半焦距為c，其伴隨橢圓C1的半焦距為c1，若c=2c1，求雙曲線C的漸近線方程；
（2）若雙曲線C的方程為
x2
4
-
y2
2
=1，弦PQ⊥x軸，記直線PA與直線QB的交點(diǎn)為M，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；
（3）過雙曲線C：x2-y2=1的左焦點(diǎn)F，且斜率為k的直線l與雙曲線C交于N1、N2兩點(diǎn)，求證：對(duì)任意的k∈[-2-
1
4
，2-
1
4
]，在伴隨曲線C1上總存在點(diǎn)S，使得
FN1
•
FN2
=
FS
2．
分析：（1）利用雙曲線的a、b、c的關(guān)系及橢圓的a、b、c1的關(guān)系及雙曲線的漸近線的方程即可得出；
（2）設(shè)出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)，利用點(diǎn)斜式得出直線PA、QB的方程，聯(lián)立即可得出交點(diǎn)M的坐標(biāo)，反解出點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用代點(diǎn)法即可求出軌跡；
（3）設(shè)出直線l的方程，并與雙曲線的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系及已知條件求出
FN1
•
FN2
的范圍，再求出伴隨曲線C1上的任意一點(diǎn)到點(diǎn)F的距離的平方的取值范圍，即可判斷出結(jié)論是否成立．
解答：解：（1）∵c=
a2+b2
，c1=
a2-b2
，
由c=2c1，得
a2+b2
=2
a2-b2
，即a2+b2=4（a2-b2）
可得  
b2
a2
=
3
5
，
∴C的漸近線方程為y=±
15
5
x；
（2）設(shè)P（x0，y0），Q（x0，-y0），又A（-2，0）、B（2，0），
∴直線PA的方程為y=
y0
x0+2
(x+2)…①
直線QB的方程為y=
-y0
x0-2
(x-2)…②，
由①②得
x0=
4
x
y0=
2y
x
，
∵P（x0，y0）在雙曲線
x2
4
-
y2
2
=1上
∴
42
x2
4
-
4y2
x2
2
=1，整理得
x2
4
+
y2
2
=1．
（3）證明：點(diǎn)F的坐標(biāo)為F(-
2
，0)，直線l的方程為y=k(x+
2
)，
設(shè)N1、N2的坐標(biāo)分別為N1（x1，y1）、N2（x2，y2），
則由
y=k(x+
2
)
x2-y2=1
得x2-k2(x+
2
)2=1，
即(1-k2)x2-2
2
k2x-(2k2+1)=0，
當(dāng)k≠±1時(shí)，
∵△=8k4+4（1-k2）（2k2+1）=8k4-8k4+4k2+4=4k2+4＞0
∴x1+x2=
2
2
k2
1-k2
，x1•x2=-
2k2+1
1-k2
，
FN1
•
FN2
=(x1+
2
，y1)•(x2+
2
，y2)=(x1+
2
)(x2+
2
)+y1y2
=(x1+
2
)(x2+
2
)+k(x1+
2
)k(x2+
2
)=(1+k2)[x1x2+
2
(x1+x2)+2]
=(1+k2)(-
2k2+1
1-k2
+
2
•
2
2
k2
1-k2
+2)=
1+k2
1-k2

由k∈[-2-
1
4
，2-
1
4
]知 k2∈[0，
2
2
]，
∴
1+k2
1-k2
∈[1，3+2
2
]．
∵雙曲線C：x2-y2=1的伴隨曲線是圓C1：x2+y2=1，圓C1上任意一點(diǎn)S到F的距離|SF|∈[
2
-1，1+
2
]，
∴
SF
2∈[3-2
2
，3+2
2
]．
∵[1，3+2
2
]⊆[3-2
2
，3+2
2
]
∴對(duì)任意的k∈[-2-
1
4
，2-
1
4
]，在伴隨曲線C1上總存在點(diǎn)S，
使得
FN1
•
FN2
=
FS
2．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握雙曲線的a、b、c的關(guān)系及橢圓的a、b、c1的關(guān)系、雙曲線的漸近線的方程、直線相交問題、代點(diǎn)法求軌跡問題、一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系、向量的數(shù)量積的計(jì)算等是解題的關(guān)鍵．本題需要較強(qiáng)的計(jì)算能力．
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•松江區(qū)一模）設(shè)f（x）是定義在R上的函數(shù)，對(duì)x∈R都有f（-x）=f（x），f（x）•f（x+2）=10，且當(dāng)x∈[-2，0]時(shí)，f(x)=(
1
2
)x-1，若在區(qū)間（-2，6]內(nèi)關(guān)于x的方程f（x）-loga（x+2）=0（a＞1）恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•松江區(qū)一模）已知lgx+lgy=1，則
5
x
+
2
y
的最小值是
2
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•松江區(qū)一模）拋物線的焦點(diǎn)為橢圓
x2
5
+
y2
4
=1的右焦點(diǎn)，頂點(diǎn)在橢圓中心，則拋物線方程為
y2=4x
y2=4x
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•松江區(qū)一模）定義變換T將平面內(nèi)的點(diǎn)P（x，y）（x≥0，y≥0）變換到平面內(nèi)的點(diǎn)Q(
x
，
y
)．
若曲線C0：
x
4
+
y
2
=1(x≥0，y≥0)經(jīng)變換T后得到曲線C1，曲線C1經(jīng)變換T后得到曲線C2…，依此類推，曲線Cn-1經(jīng)變換T后得到曲線Cn，當(dāng)n∈N*時(shí)，記曲線Cn與x、y軸正半軸的交點(diǎn)為An（an，0）和Bn（0，bn）．某同學(xué)研究后認(rèn)為曲線Cn具有如下性質(zhì)：
①對(duì)任意的n∈N*，曲線Cn都關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；
②對(duì)任意的n∈N*，曲線Cn恒過點(diǎn)（0，2）；
③對(duì)任意的n∈N*，曲線Cn均在矩形OAnDnBn（含邊界）的內(nèi)部，其中Dn的坐標(biāo)為Dn（an，bn）；
④記矩形OAnDnBn的面積為Sn，則
lim
n→∞
Sn=1
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是
③④
③④
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•松江區(qū)一模）已知遞增的等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1，且a1、a2、a4成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；
（2）設(shè)數(shù)列{cn}對(duì)任意n∈N*，都有
c1
2
+
c2
22
+…+
cn
2n
=an+1成立，求c1+c2+…+c2012的值．
（3）若bn=
an+1
an
（n∈N*），求證：數(shù)列{bn}中的任意一項(xiàng)總可以表示成其他兩項(xiàng)之積．

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