對于函數(shù)．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）探究函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，并給予證明．
【答案】分析：（1）根據(jù)題意，先求出f（x）的定義域，判斷可得其定義域關(guān)于原點對稱，進(jìn)而將f（x）變形為，求出f（-x）的解析式，即可得f（x）=-f（x），由奇函數(shù)的定義可得答案．
（2）設(shè)x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，對f（x1）、f（x2）做差可得，分0＜a＜1與a＞1兩種情況討論，判斷f（x1）-f（x2）的符號，可得f（x）在（0，+∞）的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的奇偶性，分析可得答案．
解答：解：（1）對于函數(shù)，
必有ax-1≠0，解可得x≠0，
則函數(shù)f（x）的定義域為{x|x≠0}，關(guān)于原點對稱，
f（x）=+=，則，
又由，
所以f（x）為奇函數(shù)，
（2）設(shè)x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，
則，
因為0＜x1＜x2
①當(dāng)0＜a＜1時，，即f（x1）＜f（x2），
所以f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
②當(dāng)a＞1時，，即f（x1）＞f（x2），
所以f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，
因為f（x）為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，
所以當(dāng)0＜a＜1時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，0），（0，+∞）；
當(dāng)a＞1時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，0），（0，+∞）．
點評：本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的判斷，對于奇偶性首先應(yīng)該分析函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，對于單調(diào)性的判斷一般用作差法．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對于定義在區(qū)間D上的函數(shù)f（x），若存在閉區(qū)間[a，b]⊆D和常數(shù)c，使得對任意x1∈[a，b]，都有f（x1）=c，且對任意x2∈D，當(dāng)x2∉[a，b]時，f（x2）＞c恒成立，則稱函數(shù)f（x）為區(qū)間D上的“平底型”函數(shù)．
（1）判斷函數(shù)f1（x）=|x-1|+|x-2|和f2（x）=x+|x-2|是否為R上的“平底型”函數(shù)？并說明理由；
（2）若函數(shù)g(x)=x+
x2+2x+n
是區(qū)間[-2，+∞）上的“平底型”函數(shù)，求n的值．
（3）設(shè)f（x）是（1）中的“平底型”函數(shù)，k為非零常數(shù)，若不等式|t-k|+|t+k|≥|k|•f（x）對一切t∈R恒成立，求實數(shù)x的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對于定義在區(qū)間D上的函數(shù)f（x），若存在閉區(qū)間[a，b]⊆D和常數(shù)c，使得對任意x1∈[a，b]，都有f（x1）=c，且對任意x2∈D，當(dāng)x2∉[a，b]時，f（x2）＞c恒成立，則稱函數(shù)f（x）為區(qū)間D上的“平底型”函數(shù)．
（1）判斷f1（x）=|x-1|+|x-2|和f2（x）=x+|x-2|是否為R上的“平底型”函數(shù)？并說明理由；
（2）若函數(shù)g(x)=mx+
x2+2x+n
是區(qū)間[-2，+∞）上的“平底型”函數(shù)，求m和n的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f（x）是定義在[a，b]上的函數(shù)，用分點T：a=x0＜x1＜…＜xi-1＜xi＜…＜xn=b，將區(qū)間[a，b]任意劃分成n個小區(qū)間，若存在常數(shù)M，使
ni=1
f（xi）-f（xi-1）|≤M恒成立，則稱f（x）為[a，b]上的有界變差函數(shù)．
（1）判斷函數(shù)f（x）=x+cosx在[-π，π]上是否為有界變差函數(shù)，并說明理由；
（2）定義在[a，b]上的單調(diào)函數(shù)f（x）是否一定為有界變差函數(shù)？若是，請給出證明；若不是，請說明理由；
（3）若定義在[a，b]上的函數(shù)f（x）滿足：存在常數(shù)k，使得對于任意的x1，x2∈[a，b]，|f（x1）-f（x2）|≤k|x1-x2|．證明：f（x）為[a，b]上的有界變差函數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•虹口區(qū)二模）定義域為D的函數(shù)f（x），如果對于區(qū)間I內(nèi)（I⊆D）的任意兩個數(shù)x1、x2都有f(
x1+x2
2
)≥
1
2
[f(x1)+f(x2)]成立，則稱此函數(shù)在區(qū)間I上是“凸函數(shù)”．
（1）判斷函數(shù)f（x）=-x2在R上是否是“凸函數(shù)”，并證明你的結(jié)論；
（2）如果函數(shù)f(x)=x2+
a
x
在區(qū)間[1，2]上是“凸函數(shù)”，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）對于區(qū)間[c，d]上的“凸函數(shù)”f（x），在[c，d]上的任取x1，x2，x3，…，x2n，證明：f(
x1+x2+…+x2n
2n
)≥
1
2n
[f(x1)+f(x2)+…+f(x2n)]．

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