Question

已知數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a₁=0，a_n+1-a_n=（1-a_n+1）（1-a_n）．
（1）令c_n=

1

1-an

，證明：數(shù)列{c_n}是等差數(shù)列，并求出{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）設(shè)b_n=

1- an+1

n

，其前n項(xiàng)和為S_n，證明：S_n＜1．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件得c_n+1-c_n=

1

1-an+1

-

1

1-an

=

1-an-(1-an+1)

(1-an+1)(1-an)

=1，又c1=

1

1-a1

=1，由此能證明數(shù)列{c_n}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，并能求出a_n=1-

1

n

．
（2）b_n=

1- an+1

n

=

1- n n+1

n

=

1

n

-

1

n+1

，由此利用裂項(xiàng)求和法能證明S_n＜1．

解答： （1）證明：∵數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a₁=0，a_n+1-a_n=（1-a_n+1）（1-a_n），
c_n=

1

1-an

，
∴c_n+1-c_n=

1

1-an+1

-

1

1-an

=

1-an-(1-an+1)

(1-an+1)(1-an)

=

an+1-an

an+1-an

=1，
又c1=

1

1-a1

=1，
∴數(shù)列{c_n}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列．
∴c_n=

1

1-an

=1+n-1=n，
∴1-a_n=

1

n

，∴a_n=1-

1

n

．
（2）證明：∵b_n=

1- an+1

n

=

1- 1- 1 n+1

n

=

1- n n+1

n

=

1

n

-

1

n+1

，
∴S_n=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）
=1-

1

n+1

＜1，
∴S_n＜1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查不等式的證明，解題時(shí)要注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．