函數(shù)f（x）是由向量集
A
到
A
的映射f確定，且f（x）=x-2（x•
a
）
a
，若存在非零常向量
a
使f[f（x）]=f（x）恒成立．
（1）求|
a
|；
（2）設(shè)
AB
=
a
，
A
（1，-2），若點(diǎn)P分
AB
的比為-
1
3
，求點(diǎn)P所在曲線的方程．
分析：（1）利用復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)和向量的數(shù)量積運(yùn)算即可得出；
（2）利用向量的運(yùn)算和相等即可得出．
解答：解：（1）f[f （x）]=f （x）-2[f （x）•
a
]•
a
（
x
為向量）
=x-2（x•
a
）•
a
-2{[x-2（x•
a
）•
a
]•
a
}•
a

=x-2（x•
a
）•
a
-2[x•
a
-2（x•
a
）
a
2]•
a
=x-2（x•
a
）•
a

∴[x•
a
-2（x•
a
）•
a
2]•
a
=0，∵
a
≠
0
．
∴x•
a
-2（x•
a
）•
a
2=0，∴x•
a
（1-2
a
2）=0恒成立
∴1-2
a
2=0，∴
a
2=
1
2
，∴|
a
|=
2
2
．
（2）設(shè)B（x′，y′），∴
AB
=（x′-1，y′+2），
∴（x′-1）2+（y′+2）2=
1
2
，
設(shè)P（x，y） 由
AP
=-
1
3
PB
，∴（x-1，y+2）=-
1
3
（x′-x，y′-y）
∴
x-1=-
1
3
(x′-x)
y+2=-
1
3
(y′-y)
，解得
x′=-2x+3
y′=-2y-6
，
∴（-2x+3-1）2+（-2y-6+2）2=
1
2

∴（x-1）2+（y+2）2=
1
8
，即為P點(diǎn)所在曲線的方程．
點(diǎn)評：熟練掌握復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)和向量的數(shù)量積運(yùn)算、向量的運(yùn)算和相等是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

將函數(shù)f（x）的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，同時(shí)將縱坐標(biāo)縮小到原來的
1
2
倍，得到函數(shù)y=cos（x-
π
6
）的圖象，另一方面函數(shù)f（x）的圖象也可以由函數(shù)y=2cos2x+1的圖象按向量
c
平移得到，則
c
可以是（　　）
A、(
π
6
，-1)
B、(
π
12
，1)
C、(
π
12
，-1)
D、(
π
6
，1)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2010•合肥模擬）已知向量
a
=(sinx，cosx)，
b
=(cosx，
3
cosx)，f(x)=
a
•
b
-
3
2
，下面關(guān)于函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f'（x）說法中錯(cuò)誤的是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

函數(shù)f（x）是由向量集
A
到
A
的映射f確定，且f（x）=x-2（x•
a
）
a
，若存在非零常向量
a
使f[f（x）]=f（x）恒成立．
（1）求|
a
|；
（2）設(shè)
AB
=
a
，
A
（1，-2），若點(diǎn)P分
AB
的比為-
1
3
，求點(diǎn)P所在曲線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年湖北省武漢二中高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

函數(shù)f（x）是由向量集到的映射f確定，且f（x）=x-2，若存在非零常向量使f[f（x）]=f（x）恒成立．
（1）求||；
（2）設(shè)=，（1，-2），若點(diǎn)P分的比為-，求點(diǎn)P所在曲線的方程．

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