Question

5．直線l₁：mx-y=0與直線l₂：x+my-2m-2=0（m∈R）交點(diǎn)為點(diǎn)P：
（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）直線2x+y+b=0與P點(diǎn)的軌跡交于A，B兩點(diǎn)，且∠AOC為鈍角，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）聯(lián)立兩條直線方程，消去m，即得到l₁和l₂的交點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）由∠AOC為鈍角，可得45°＜∠ABC＜90°，圓心到直線的距離d＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$r，即可求b的取值范圍．

解答 解：（1）由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{mx-y=0}\\{x+my-2m-2=0}\end{array}\right.$，
消去m可得x²+y²-2x-y=0，
即點(diǎn)P的軌跡方程是x²+y²-2x-y=0；
（2）x²+y²-2x-y=0可化為（x-1）²+（y-$\frac{1}{2}$）²=$\frac{5}{4}$，圓心坐標(biāo)為B（1，$\frac{1}{2}$），半徑為r=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∵∠AOC為鈍角，
∴45°＜∠ABC＜90°，
∴圓心到直線的距離d＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$r，
∴$\frac{|2+\frac{1}{2}+b|}{\sqrt{5}}$＞$\frac{\sqrt{10}}{4}$，
∴b＜-$\frac{5}{2}$-$\frac{5}{4}$$\sqrt{2}$或b＞-$\frac{5}{2}$+$\frac{5}{4}$$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線軌跡方程的求法，三直線與圓的位置關(guān)系，考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．