Question

如圖1所示，四邊形OABC是矩形，點A、C的坐標分別為（3，0），（0，1），點D是線段BC上的動點（與端點B、C不重合），過點D作直線＝－＋交折線OAB于點E．

   （1）記△ODE的面積為S，求S與的函數(shù)關系式；

（2）當點E在線段OA上時，若矩形OABC關于直線DE的對稱圖形為四邊形O₁A₁B₁C₁，試探究O₁A₁B₁C₁與矩形OABC的重疊部分的面積是否發(fā)生變化，若不變，求出該重疊部分的面積；若改變，請說明理由。

Answer 1

（1）由題意得B（3，1）．

若直線經過點A（3，0）時，則b＝    …………1分

若直線經過點B（3，1）時，則b＝     …………1分

若直線經過點C（0，1）時，則b＝1      …………1分

①若直線與折線OAB的交點在OA上時，即1＜b≤，如圖25-a，

   此時E（2b，0）

∴S＝OE·CO＝×2b×1＝b                  …………2分

②若直線與折線OAB的交點在BA上時，即＜b＜，如圖2

此時E（3，），D（2b－2，1）

∴S＝S_矩－(S_△OCD＋S_△OAE ＋S_△DBE )

＝ 3－[(2b－1)×1＋×(5－2b)·()＋×3()]＝

…………2分

∴      …………1分

（2）如圖3，設O₁A₁與CB相交于點M，OA與C₁B₁相交于點N，則矩形OA₁B₁C₁與矩形OABC的重疊部分的面積即為四邊形DNEM的面積。

由題意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四邊形DNEM為平行四邊形…………1分

根據軸對稱知，∠MED＝∠NED

又∠MDE＝∠NED，∴∠MED＝∠MDE，∴MD＝ME，∴平行四邊形DNEM為菱形．

…………1分

過點D作DH⊥OA，垂足為H，

由題易知，tan∠DEN＝，DH＝1，∴HE＝2，…………1分

設菱形DNEM 的邊長為a，

則在Rt△DHM中，由勾股定理知：，∴…………1分

∴S_{四邊形DNEM}＝NE·DH＝

∴矩形OA₁B₁C₁與矩形OABC的重疊部分的面積不發(fā)生變化，面積始終為．