Question

（本題滿分16分 ）

在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓C： (a＞b＞0)，圓O：x²+y²=a²，且過點A（，0）所作圓的兩條切線互相垂直．

（Ⅰ）求橢圓離心率；

（Ⅱ）若直線y=2與圓交于D、E；與橢圓交于M、N，且DE=2MN，求橢圓的方程；

（Ⅲ）設(shè)點T（0，3）在橢圓內(nèi)部，若橢圓C上的點到點P的最遠(yuǎn)距離不大于5，求橢圓C的短軸長的取值范圍．

 

Answer 1

（Ⅰ）由條件：過點A（，0）作圓的兩切線互相垂直，

     ∴OA=a，即：=a，∴e=．           …………………………………………………3分

（Ⅱ）∵e=，∴a²=2c²，a²=2b²，∴橢圓C：+=1．   …………………………………………5分

得x²=a²－12，∴DE=2,

      得x²=2b²－24，∴MN=,         …………………………………7分

    由DE=2MN，得：=4（2b²－24），∴2b²－12=4（2b²－24）解得：b²=14，a²=28，

∴橢圓方程為：．                …………………………………………………9分

（Ⅲ）∵點T（0，3）在橢圓內(nèi)部，∴b＞3，

      設(shè)P（x，y）為橢圓上任一點，則

       PT²=x²+(y－3)²=2b²－2y²+(y－3)²=－(y+3)²+2b²+18，其中，－b＜y＜b， …………………12分

∵b＞3，∴－b＜－3，

∴當(dāng)y=－3時，PT²的最大值2b²+18．         ……………………………………………………14分

依題意：PT≤5，∴PT²≤50，

∴2b²+18≤50，∴0＜b≤4，

又∵b＞3，∴3＜b≤4，即6＜2b≤8，

∴橢圓C的短軸長的取值范圍6＜b≤8．          …………………………………………………16分