Question

（2013•惠州模擬）已知向量

p

=（a_n，2ⁿ），

q

=（2ⁿ⁺¹，-a_n+1），n∈N^*，向量

p

 與

q

 垂直，且a₁=1
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若數列{b_n}滿足b_n=log₂a_n+1，求數列{a_n•b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）由向量

p

 與

q

 垂直，得2ⁿa_n+1=2ⁿ⁺¹a_n，∴{a_n}是以1為首項，2為公比的等比數列，利用等比數列的通項公式可求a_n
（2）由a_n•b_n=n•2^n-1，則S_n=1+2×2+3×2²+…+（n-1）×2^n-2+n×2^n-1，利用錯位相減法可求其和．

解答：解：（1）∵向量

p

 與

q

 垂直，∴2ⁿa_n+1-2ⁿ⁺¹a_n=0，
 即2ⁿa_n+1=2ⁿ⁺¹a_n，…（2分）
∴

an+1

an

=2∴{a_n}是以1為首項，2為公比的等比數列…（4分）
∴a_n=2^n-1．        …（5分）
（2）∵b_n=log₂a₂+1，∴b_n=n
∴a_n•b_n=n•2^n-1，…（8分）
∴S_n=1+2×2+3×2²+…+（n-1）×2^n-2+n×2^n-1    …①
∴2S_n=1×2+2×2²+…（n-1）×2^n-1+n×2ⁿ   …②…（10分）
由①-②得，-S_n=1+2+2²+…+2^n-1-n×2ⁿ=

1-2n

1-2

-n•2n=（1-n）•2ⁿ=（1-n）2ⁿ-1…（12分）
∴S_n=1-（n+1）2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹=1+（n-1）•2ⁿ．…（14分）

點評：本題主要利用數列的遞推公式求解數列的通項公式，等比數列的通項公式的應用，數列求和的錯位相減的應用，屬于綜合試題．