Question

已知命題P：“函數(shù)f（x）=a²x²+ax-2在[-1，1]上存在零點(diǎn)”；命題Q：“只有一個實(shí)數(shù)x滿足不等式x²+2ax+2a≤0”，若命題P或Q是假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：“函數(shù)f（x）=a²x²+ax-2在[-1，1]上存在零點(diǎn)”即方程有根；只有一個實(shí)數(shù)x滿足不等式x²+2ax+2a≤0即相應(yīng)方程只有一解

解答：解：∵函數(shù)f（x）=a²x²+ax-2在[-1，1]上存在零點(diǎn)
∴方程f（x）=a²x²+ax-2=（ax+2）（ax-1）=0有解．在[-1，1]上存在零點(diǎn)，
當(dāng)a=0時，f（x）=a²x²+ax-2，則不符合條件；
當(dāng)a≠0時，∵函數(shù)f（x）=a²x²+ax-2在[-1，1]上有零點(diǎn)，且a²＞0，
△=9a²＞0，由f（1）＜0且f（-1）＜0，即a²+a-2＜0且a²-a-2＜0，
解得滿足題意的a值為，a≤-1或a≥1，
只有一個實(shí)數(shù)x滿足不等式x²+2ax+2a≤0，即拋物線y=x²+2ax+2與x軸只有一個交點(diǎn)
∴△=4a²-8a=0，∴a=0或a=2
∴命題P或Q是假命題
∴a的取值范圍為{a|-1＜a＜0或0＜a＜1}

點(diǎn)評：本題通過邏輯用語來考查函數(shù)、方程與不等式之間的關(guān)系．