雙曲線=1(a>0,b>0)的離心率為2,坐標(biāo)原點到直線AB的距離為,其中A(0,-b),B(a,0).

(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)設(shè)F是雙曲線的右焦點,直線l過點F且與雙曲線的右支交于不同的兩點P、Q,點M為線段PQ的中點.若點M在直線x=-2上的射影為N,滿足·=0,且||=10,求直線l的方程.

 

【答案】

(1) x2=1.(2) 3x-y-6=0或3x+y-6=0.

【解析】

試題分析:(1)依題意有

解得a=1,b=,c=2.所以,所求雙曲線的方程為x2=1.(4分)

(2)當(dāng)直線l⊥x軸時,||=6,不合題意.(5分)

當(dāng)直線l的斜率存在時,設(shè)直線l的方程為y=k(x-2).

得,

(3-k2)x2+4k2x-4k2-3=0.                          

因為直線與雙曲線的右支交于不同兩點,所以3-k2≠0.(7分)

設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x0,y0),則x1、x2是方程①的兩個正根,于是有

所以k2>3。 (9分)

因為·=0,則PN⊥QN,又M為PQ的中點,||=10,所以|PM|=|MN|=|MQ|=|PQ|=5.

又|MN|=x0+2=5,∴x0=3,

而x0=3,∴k2=9,解得k=±3.(10分)

∵k=±3滿足②式,∴k=±3符合題意.

所以直線l的方程為y=±3(x-2).

即3x-y-6=0或3x+y-6=0.(12分)

考點:本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,雙曲線的幾何性質(zhì),直線與雙曲線的位置關(guān)系,直線方程。

點評:中檔題,涉及雙曲線的題目,在近些年高考題中是屢見不鮮,往往涉及求標(biāo)準(zhǔn)方程,研究直線與雙曲線的位置關(guān)系。求標(biāo)準(zhǔn)方程,主要考慮定義及a,b,c,e的關(guān)系,涉及直線于雙曲線位置關(guān)系問題,往往應(yīng)用韋達(dá)定理。本題利用“垂直關(guān)系”較方便的得到了直線的斜率,進(jìn)一步確定得到直線方程。

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

過雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的一個焦點作圓x2y2a2的兩條切線,切點分別為A、B.若∠AOB=120°(O是坐標(biāo)原點),則雙曲線C的離心率為________.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)雙曲線=1(a>0,b>0)的兩焦點為F1、F2,點Q為雙曲線左支上除頂點外的任一點,過F1作∠F1QF2的平分線的垂線,垂足為P,則點P的軌跡是(  )

A.橢圓的一部分                    B.雙曲線的一部分

C.拋物線的一部分                  D.圓的一部分

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:單選題

如圖所示,從雙曲線-=1(a>0,b>0)的左焦點F引圓x2+y2a2的切線,切點為T,延長FT交雙曲線右支于P點,若M為線段FP的中點,O為坐標(biāo)原點,則|MO|-|MT|與b-a的大小關(guān)系為  


  1. A.
    |MO|-|MT|>b-a
  2. B.
    |MO|-|MT|=b-a
  3. C.
    |MO|-|MT|<b-a
  4. D.
    不確定

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,從雙曲線=1(a>o,b>o)的左焦點F引圓 的切線,切點為T.延長FT交雙曲線右支于P點,若M為線段FP的中點,O為坐標(biāo)原點,則|MO|-|MT|與b-a的大小關(guān)系為

   

A.|MO|-|MT|>b-a

B. |MO|-|MT|=b-a

C. |MO|-|MT|<b-a   

D.不確定

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