Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥AD，AB∥CD，CD⊥AD，AD=CD=2AB=2，E，F(xiàn)分別為P，CD的中點(diǎn)，DE=EC．
（1）求證：平面ABE⊥平面BEF；
（2）設(shè)PA=a，若三棱錐B-PED的體積v，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）通過證明AE⊥平面BEF，利用平面與平面垂直的判定定理證明平面ABE⊥平面BEF；
（2）設(shè)PA=a，利用三棱錐B-PED的體積V=V_B-CED=V_E-BCD，求出三棱錐B-PED的體積，結(jié)合V，即可求a的取值范圍．
解答：證明：（Ⅰ）因?yàn)锳B∥CD，CD⊥AD，AD=CD=2AB=2，F(xiàn)分別為CD的中點(diǎn)，DE=EC．
∴ABCD為矩形，AB⊥BF…（2分）
∵DE=EC∴DC⊥EF，又AB∥CD，∴AB⊥EF，
∵BF∩EF=F，∴AE⊥平面BEF，AE?面ABE，
∴平面ABE⊥平面BEF…（4分）
（Ⅱ）∵DE=EC，∴DC⊥EF，又PD∥EF，AB∥CD，∴AB⊥PD，
又AB⊥PD，所以AB⊥面PAD，AB⊥PA，PA⊥面ABCD…（6分）
三棱錐B-PED的體積V=V_B-CED=V_E-BCD，
S_△BCD==2，E到面BCD的距離h=
V_B-CED=V_E-BCD=×∈…（10分）
可得a．…12 分
點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，幾何體的體積的求法，考查空間想象能力與計(jì)算能力．