Question

3．如圖，在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，AC=1，D是BC邊上的一點（含端點），則$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BC}$的取值范圍是[-3，0]．

Answer 1

分析 由條件可以求出$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=1$，而根據(jù)B，D，C三點共線，便可得到$\overrightarrow{AD}=（1-λ）\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{AC}$，從而得到$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}=[（1-λ）\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{AC}]$$•（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$，進行數(shù)量積的運算便可得出$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}=3λ-3$，

解答 解：根據(jù)條件，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|cos60°=1$；
∵B，D，C三點共線，∴存在實數(shù)λ使$\overrightarrow{BD}=λ\overrightarrow{BC}$，0≤λ≤1；
∴$\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}=λ（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$；
∴$\overrightarrow{AD}=（1-λ）\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{AC}$；
∴$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}=[（1-λ）\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{AC}]（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$
=$（1-2λ）\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}-（1-λ）{\overrightarrow{AB}}^{2}+λ{\overrightarrow{AC}}^{2}$
=1-2λ-4（1-λ）+λ=3λ-3；
∵0≤λ≤1；
∴-3≤3λ-3≤0；
∴$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}$的取值范圍為[-3，0]．
故答案為：[-3，0]．

點評 考查向量數(shù)量積的運算及其計算公式，共線向量基本定理，向量減法的幾何意義，向量的數(shù)乘運算，以及不等式的性質．