Question

設直線l：x-y+m=0與拋物線C：y²=4x交于不同兩點A、B，F(xiàn)為拋物線的焦點．
（1）求△ABF的重心G的坐標；
（2）如果m=-3，求△ABF的外接圓的方程．

Answer 1

分析：（1）聯(lián)立直線與拋物線方程，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則根據(jù)方程的根與系數(shù)關系可求x₁+x₂，y₁+y₂，當△=（2m-4）²-4m²＞0，由重心坐標公式可得xG=

1+x1+x2

3

，yG=

0+y1+y2

3

可求G
（2）當m=-3時，由已知得

y=x-3 y2=4x

，可求A，B，設所求圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，把A，B，F(xiàn)的坐標代入圓的方程可求

解答：解：（1）由已知得

y=x+m y2=4x

消去y得x²+（2m-4）x+m²=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則x₁+x₂=4-2m，y₁+y₂=4，且F（1，0）
當△=（2m-4）²-4m²≤0，即 m≥1時，不構成三角形
當△=（2m-4）²-4m²＞0，即m＜1且m≠-1時，
由重心坐標公式可得xG=

1+x1+x2

3

=

5-2m

3

，yG=

0+y1+y2

3

=

4

3

∴重心為(

5-2m

3

，

4

3

)
（2）當m=-3時，由已知得

y=x-3 y2=4x

消去y得x²-10x+9=0，
∴x₁=9，x₂=1
∴A（9，6），B（1，-2），設所求圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0
則

9D+6E+F+117=0 D-2E+F+5=0 D+F+1=0

∴D=-16，E=2，F(xiàn)=15
所以圓的方程為：x²+y²-16x+2y+15=0

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線相交關系的應用，三角形的重心坐標公式及利用待定系數(shù)法求解圓的方程，主要體現(xiàn)了方程思想的應用．