Question

已知正四棱柱中，，為的中點(diǎn)，為直線上的動點(diǎn)，設(shè).

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求與平面所成的角；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求二面角的大小（用反三角函數(shù)表示）；

（Ⅲ）當(dāng)為何值時(shí)，有？

Answer 1

解：方法一：

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，由，得 

連結(jié)，則就是與平面所成的角

在中，，∴

∴與平面所成的角是       

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，     

在平面內(nèi)作，為垂足，連結(jié)，

則，∴就是二面角的平面角 

在中，，

在中，

∴二面角的大小   

（Ⅲ）連結(jié)，為在平面上的射影，要使，只要                                                     

過點(diǎn)在平面上作，垂足為，與的延長線交于

此時(shí)∽，∴，∴                       

∴當(dāng)時(shí)，                                          

方法二：

（Ⅰ）解：建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，則

，則 

                   

當(dāng)時(shí)，，

設(shè)平面的法向量為，則 

設(shè)與的夾角為，則

∴與平面所成的角是                     

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，，

設(shè)平面的法向量，則

∴                                  

∴

∴二面角的大小 

（Ⅲ）顯然，設(shè)，則

要使，只要，即，解得  

∴