Question

（2011•浙江模擬）已知函數(shù)f（x）=ax²-（2a-1）x-lnx（a∈R且a≠0）
（Ⅰ）當a=2時，判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（

1

e

 ， e）上的零點個數(shù)，并說明理由；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在（1，e）上是單調函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）欲判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（

1

e

 ， e）上的零點個數(shù)，先要研究函數(shù)在（

1

e

，e）上的單調性，然后求出端點的函數(shù)值和極值，判定符號，根據(jù)根的存在性定理可判定；
（ II）欲使函數(shù)f（x）在（1，e）上是單調函數(shù)，只需極值點不在區(qū)間（1，e）上即可．

解答：解：（I）當a=2時，f（x）=2x²-3x-lnx
f'（x）=4x-3-

1

x

=

(4x+1)(x-1)

x

∴當x∈（

1

e

，1）時，f'（x）＜0，當x∈（1，e）時，f'（x）＞0
即f（x）在（

1

e

，1）上遞減，在（1，e）上遞增，
∵f（1）=-1＜0，f（

1

e

）=

(e-1)(e-2)

e2

＞0，f（e）=2e²-3e-1＞0
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（

1

e

 ， e）上有兩個零點
（ II）∵a≠0f′(x)=

(2ax+1)(x-1)

x

∴f'（x）=0的根是1 ， -

1

2a

…（8分）
當-

1

2a

≤1時，f'（x）在（1，e）上恒大于0，或者恒小于0，
∴函數(shù)f（x）在（1，e）上單調，
故a＞0 或a≤-

1

2

…（11分）
當-

1

2a

＞1時，若函數(shù)f（x）在（1，e）上單調，則-

1

2a

≥e，故-

1

2e

≤a＜0，…（14分）
綜上a≤-

1

2

或-

1

2e

≤a＜0或a＞0．…．…（15分）

點評：本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，以及利用導數(shù)研究函數(shù)的極值和根的存在性定理，同時考查了轉化的思想和計算能力，屬于中檔題．