Question

關(guān)于函數(shù)f(x)=

2x

1+|x|

（x∈R）的如下結(jié)論：
①f（x）是奇函數(shù)；②函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?2，2）；③若x₁≠x₂，則一定有f（x₁）≠f（x₂）；④函數(shù)g（x）=f（x）-3x在R上有三個(gè)零點(diǎn)．
其中正確結(jié)論的序號(hào)有

①②③

．（請(qǐng)將你認(rèn)為正確的結(jié)論的序號(hào)都填上）

Answer 1

分析：由定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)且f（-x）=-f（x），可得f（x）是奇函數(shù)，故①正確．利用不等式的性質(zhì)可得，-2＜f（x）＜2，故②正確． 根據(jù)奇函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
可得函數(shù)f（x）在（-∞，0）上也是增函數(shù)，故當(dāng)x₁≠x₂時(shí)，一定有f（x₁）≠f（x₂），故③正確．函數(shù)g（x）=f（x）-3x在R上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=3x的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)．而兩個(gè)增函數(shù)的圖象交點(diǎn)最多有兩個(gè)，故④不正確．

解答：解：函數(shù)f(x)=

2x

1+|x|

（x∈R）的定義域?yàn)镽，
由f（-x）=

-2x

1+|x|

=-f（x），可得f（x）是奇函數(shù)，故①正確．
由于-|x|≤x≤|x|，∴-

2|x|

1+|x|

≤f（x）≤

2|x|

1+|x|

．
∴-

2|x|+2

1+|x|

＜f（x）＜

2|x|+2

1+|x|

，∴-2＜f（x）＜2，故②正確．
當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)=

2x

1+x

=

2(x+1)-2

1+x

=2-

2

x+1

＞0，故函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
再由奇函數(shù)的性質(zhì)可得，函數(shù)f（x）在（-∞，0）上也是增函數(shù)，且f（x）＜0，f（0）=0，
故當(dāng)x₁≠x₂時(shí)，一定有f（x₁）≠f（x₂），故③正確．
由③可得，函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)，函數(shù)g（x）=f（x）-3x在R上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=3x的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)．
而兩個(gè)增函數(shù)的圖象交點(diǎn)最多有兩個(gè)，故函數(shù)g（x）=f（x）-3x在R上有三個(gè)零點(diǎn)不可能，故④不正確．
故答案為 ①②③．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、值域，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，屬于基礎(chǔ)題．