Question

已知拋物線C：y²=2px（p＞0），點A、B在拋物線C上．
（Ⅰ）若直線AB過點M（2p，0），且|AB|=4p，求過A，B，O（O為坐標原點）三點的圓的方程；
（Ⅱ） 設直線OA、OB的傾斜角分別為α，β且α+β=

π

4

，問直線AB是否會過某一定點？若是，求出這一定點的坐標，若不是，請說明理由．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）求出A，B的坐標，可得三角形ABO是Rt△，從而可求過A，B，O三點的圓方程；
（Ⅱ）直線AB的方程為：x=my+b，代入拋物線方程，利用韋達定理，結(jié)合α+β=

π

4

，可得b=-2p-2mp，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）∵直線AB過點M（2p，0），且|AB|=4p，
∴直線x=2p與拋物線y²=2px的兩個交點坐標分別是：A（2p，2p），B（2p，-2p），
∴三角形ABO是Rt△，
∴過A，B，O三點的圓方程是：（x-2p）²+y²=4p²；
（Ⅱ）設點A(

y 2 1

2p

，y1)，B(

y 2 2

2p

，y2)，直線AB的方程為：x=my+b，它與拋物線相交，
由方程組

x=my+b y2=2px

消去x可得y²-2mpy-2pb=0，
故y₁+y₂=2mp，y₁y₂=-2pb，
這樣，tan

π

4

=tan(α+β)=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

y1 x1 + y2 x2

1- y1y2 x1x2

=

x2y1+x1y2

x1x2-y1y2

=

2p(y1+y2)

y1y2-4p2

即1=

2p•2mp

-2pb-4p2

=-

2mp

b+2p

，所以b=-2p-2mp，
∴直線AB的方程可以寫成為：x=my-2p-2mp，即x+2p=m（y-2p），
∴直線AB過定點（-2p，2p）．

點評：本題考查圓的方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查和角的正切公式，考查直線過定點，屬于中檔題．