Question

定義在R上的函數(shù)y=f（x），對于任意實(shí)數(shù)m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n），且當(dāng)x＞0時(shí)，0＜f（x）＜1．
（1）求f（0）的值；
（2）求當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）的取值范圍；
（3）判斷f（x）在R上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

（1）令m=0，n＞0，則有f（n）=f（0+n）=f（0）•f（n）
又由已知，n＞0時(shí)，0＜f（n）＜1，
∴f （0）=1
（2）設(shè)x＜0，則-x＞0f（0）=f[x+（-x）]=f（x）•f（-x）=1
則 f(x)=

1

f(-x)

，
又∵-x＞0，
∴0＜f（-x）＜1，
∴f（x）∈（1，+∞）
（3）f（x）在R上的單調(diào)遞減
證明：設(shè)x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂
又x₁=（x₁-x₂）+x₂，由已知f（x₁）=f[（x₁-x₂）+x₂]=f（x₁-x₂）•f（x₂）
∴

f(x1)

f(x2)

=f(x1-x2)…（16分），
∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，由（2）得f（x₁-x₂）＞1
∴

f(x1)

f(x2)

＞1，又由（1）、（2），f(x1)、f(x2)∈R+，
∴f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在R上的單調(diào)遞減