已知在平面直角坐標系xOy中的一個橢圓，它的中心在原點，左焦點為F(-
3
，0)，右頂點為D（2，0），設點A(1，
1
2
)．（Ⅰ）求該橢圓的標準方程；（II）過原點O且斜率為k（k＜0）的直線l交橢圓于點B，C，求△ABC面積的最大值及此時直線l的方程．
分析：（Ⅰ）由左焦點為F(-
3
，0)，右頂點為D（2，0），得到橢圓的半長軸a，半焦距c，再求得半短軸b，最后由橢圓的焦點在x軸上求得方程．
（II）設該直線方程為y=kx，代入橢圓方程，求得B，C的坐標，進而求得弦長|BC|，再求原點到直線的距離，從而可得三角形面積模型，再用基本不等式求其最值．
解答：解：（Ⅰ）由已知得橢圓的半長軸a=2，半焦距c=
3
，則半短軸b=1．
又橢圓的焦點在x軸上，
∴橢圓的標準方程為
x2
4
+y2=1
 （II）設該直線方程為y=kx，代入
x2
4
+y2=1
解得B（
2
4k2+1
，
2k
4k2+1
），C（ -
2
4k2+1
，-
2k
4k2+1
），
則 |BC|=4
1+k2
1+4k2
，又點A到直線BC的距離d=
|k-
1
2
|
1+k2
，
∴△ABC的面積S△ABC=
1
2
|AB|•d=
|2k-1|
1+4k2

于是S△ABC=
4k2-4k+1
4k2+1
=
1-
4k
4k2+1

由
4k
4k2+1
≥-1，得S△ABC≤
2
，其中，當k=-
1
2
時，等號成立．
∴S△ABC的最大值是
2
．直線方程為y=-
1
2
x
點評：本題的考點是直線與圓錐曲線的綜合問題，主要考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，求三角形面積的最值，關鍵是構(gòu)建模型，利用基本不等式求解．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

選修4-4：坐標系與參數(shù)方程
已知在平面直角坐標系xOy內(nèi)，點P（x，y）在曲線C：
x=1+cosθ
y=sinθ
(θ為參數(shù)，θ∈R）上運動．以Ox為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρcos(θ+
π
4
)=0．
（Ⅰ）寫出曲線C的標準方程和直線l的直角坐標方程；
（Ⅱ）若直線l與曲線C相交于A、B兩點，點M在曲線C上移動，試求△ABM面積的最大值，并求此時M點的坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知在平面直角坐標系中的一個橢圓，它的中心在原點，左焦點為F(-
3
，0)，且過點D（2，0）．
（1）求該橢圓的標準方程；
（2）設點A(1，
1
2
)，若P是橢圓上的動點，求線段PA的中點M的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（坐標系與參數(shù)方程選做題）已知在平面直角坐標系xoy中，圓C的參數(shù)方程為
x=
3
+3cosθ
y=1+3sinθ
，（θ為參數(shù)），以ox為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為ρcos(θ+
π
6
)=0，則圓C截直線l所得的弦長為
4
2
4
2
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知在平面直角坐標系中，O（0，0），A（1，-2），B（1，1），C（2，-1），動點M（x，y）滿足條件
-2≤
OM
•
OA
≤2
1≤
OM
•
OB
≤2
，則z=
OM
•
OC
的最大值為（　�。�
A、-1B、0C、3D、4

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知在平面直角坐標系xOy中的一個橢圓，它的中心在原點，左焦點為F(-
3
，0)，右頂點為D（2，0），設點A(1，
1
2
)．
（Ⅰ）求該橢圓的標準方程；
（Ⅱ）若P是橢圓上的動點，求線段PA中點M的軌跡方程；
（Ⅲ）是否存在直線l，滿足l過原點O并且交橢圓于點B、C，使得△ABC面積為1？如果存在，寫出l的方程；如果不存在，請說明理由．

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