Question

如圖，單位正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，下列說法錯(cuò)誤的是（ ）

A．BD₁⊥B₁C
B．若，則PE∥A₁B
C．若點(diǎn)B₁、A、D、C在球心為O的球面上，則點(diǎn)A、C在該球面上的球面距離為
D．若，則A₁P、BE、AD三線共點(diǎn)

Answer 1

【答案】分析：以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、DD₁分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用直線所在向量的數(shù)量積判定兩直線是否垂直，是否平行，利用余弦定理求圓心角，以及利用兩平面的公共點(diǎn)肯定在交線上進(jìn)行判定即可．
解答：解：以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、DD₁分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系
則A₁（1，0，1），D₁（0，0，1），B（1，1，0），B₁（1，1，1），C（0，1，0），
選項(xiàng)A：=（-1，-1，1），=（-1，0，-1），則•=0∴BD₁⊥B₁C
選項(xiàng)B：若，則P（0，0，），E（0，，0）
∴=（0，，-），=（0，1，-1）則=-∴PE∥A₁B
選項(xiàng)C：若點(diǎn)B₁、A、D、C在球心為O的球面上，則該球?yàn)檎�方體的外接球，OA=OC=，AC=；
則AC所對(duì)的圓心角為π-arccos，∴點(diǎn)A、C在該球面上的球面距離為，則選項(xiàng)C不正確；
選項(xiàng)D：由選項(xiàng)B可知PE∥A₁B，且PE=A₁B，∴A₁P、BE共面且相交，假設(shè)交點(diǎn)為Q，Q∈A₁P，A₁P?面A₁PD，Q∈BE，BE?面BED
∴Q∈面A₁PD，Q∈?面BED，而面A₁PD∩面BED=AD∴Q∈AD即A₁P、BE、AD三線共點(diǎn)于Q．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用空間向量判定空間兩直線平行、垂直，以及向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及幾何意義，同時(shí)考查了分析問題的能力，屬于中檔題．