Question

已知函數(shù)f(x)=2sin2x+2

3

sinxcosx+1.求：
（Ⅰ）f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅲ）f（x）在[0，

π

2

]上的最值．

Answer 1

分析：（1）先將函數(shù)化簡(jiǎn)為：f（x）=2sin(2x-

π

6

)+2，根據(jù)最小正周期的求法即可得到答案．
（2）根據(jù)2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)，可求出答案．
（3）根據(jù)0≤x≤

π

2

，所以-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

.再由三角函數(shù)的單調(diào)性可的答案．

解答：解：（Ⅰ）因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">f(x)=2sin2x+2

3

sinxcosx+1=1-cos2x+2

3

sinxcosx+1
=

3

sin2x-cos2x+2
=2sin(2x-

π

6

)+2，
所以f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π.
（Ⅱ）因?yàn)?span id="blnx55b" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">f(x)=2sin(2x-

π

6

)+2，
所以由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)，
得kπ-

π

6

≤2x-

π

3

(k∈Z).
所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間是[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

](k∈Z).
（Ⅲ）因?yàn)?span id="rbl5phb" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">0≤x≤

π

2

，所以-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

.
所以-

1

2

≤sin(2x-

π

6

)≤1.
所以f(x)=2sin(2x-

π

6

)+2∈[1，4].
即f（x）的最小值為1，最大值為4．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)最小正周期的求法、單調(diào)區(qū)間的求法以及在限定區(qū)間上的三角函數(shù)的最值的求法．這種題型首先將函數(shù)化簡(jiǎn)為：y=Asin（ωx+φ）的形式后進(jìn)行解題．