Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥AB，PA⊥AD，PA=AD=2AB，E為線段AD上的一點，且．
（I）當(dāng)BE⊥PC時，求λ的值；
（II）求直線PB與平面PAC所成的角的大小．

Answer 1

解：（I）以A為原點，以AB，AD，AP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)AB=1，則PA=AD=2，
又設(shè)|AE|=y，則：=（1，2，-2），
由=0，可得-1+2y=0，∴，
又∵，∴，
∴λ=…．（6分）
（II）由（I）知面PAC的法向量為
又因為
設(shè)PB與面PAC所成的角為α，則：，
∵
∴PB所求PB與面PAC所成的角的大小為：…．（12分）
分析：（I）以A為原點，以AB，AD，AP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)表示向量，根據(jù)=0，，即可求得λ的值；
（II）確定面PAC的法向量為，，利用向量的夾角公式，即可求得直線PB與平面PAC所成的角．
點評：本題考查利用空間向量解決立體幾何問題，考查線面角，解題的關(guān)鍵是建立坐標(biāo)系，正確表示向量．