Question

已知二次函數(shù)f（x）=x²-ax+2a-4不等式f（x）≤0的解集有且只有一個元素，設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=f（n），n∈N^*
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=求{b_n}的前n次和T_n．
（3）在各項(xiàng)不為零的數(shù)列{c_n}中，所有滿足C_m+1＜0的正整數(shù)m的個數(shù)稱為這個數(shù)列{C_n}的變號數(shù)，若C_n=-（n∈N^*），求數(shù)列{C_n}的變號數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（1）先利用條件求出a，代入找到S_n的表達(dá)式，再利用S_n和a_n的關(guān)系來求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）利用錯位相減法對數(shù)列{b_n}進(jìn)行求和即可（注意分情況討論）．
（3）先利用前2問的條件求出數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)以及前幾項(xiàng)，再利用函數(shù)的單調(diào)性就可求數(shù)列{C_n}的變號數(shù)．
解答：解：（1）因?yàn)閒（x）≤0的解集有且只有一個元素，所以對應(yīng)方程的△=0⇒a=4，
故f（x）=x²-4x+4，
所以S_n=f（n）=n²-4n+4⇒a_n=
⇒a_n=
（2）由（1）知（3分）

所以當(dāng)n=1時，T₁=
當(dāng)n≥2時，利用錯位相減求和法可得，
綜合，（n∈N′），（9分）
（3）
所以c₁=-，c₂=，c₃=-，c₄=-，c₅=，
又因?yàn)閚≥5時，
故變號數(shù)為3．（4分）
點(diǎn)評：本題是對數(shù)列知識和函數(shù)知識的綜合考查．涉及到已知前n項(xiàng)和為S_n求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，根據(jù)a_n和S_n的關(guān)系：a_n=S_n-S_n-1 （n≥2）求解數(shù)列的通項(xiàng)公式．另外，須注意公式成立的前提是n≥2，所以要驗(yàn)證n=1時通項(xiàng)是否成立，若成立則：a_n=S_n-S_n-1 （n≥2）；若不成立，則通項(xiàng)公式為分段函數(shù)．