Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)F與點(diǎn)E（-，0）關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，M是動(dòng)點(diǎn)，且直線EM與FM的斜率之積等于．設(shè)點(diǎn)M的軌跡為曲線C，經(jīng)過點(diǎn)且斜率為k的直線l與曲線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q．
（Ⅰ）求曲線C的軌跡方程；
（Ⅱ）求k的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)A，曲線C與y軸正半軸的交點(diǎn)為B，是否存在常數(shù)k，使得向量與共線？如果存在，求k值；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)M（x，y），由題意得點(diǎn)F（，0），，化簡可得 x²+y²=2，
故曲線C的方程為 x²+y²=2，表示以原點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓．
（Ⅱ）∵點(diǎn)是圓和y軸的交點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)且斜率為k的直線l與曲線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q，
∴線l與曲線C不能相切，∴k≠0．
（Ⅲ） 把直線l的方程 y-=k（x-0）代入曲線C的方程 x²+y²=2 得，（1+k²）x²+2kx=0．
設(shè)P（x₁，y₁ ），Q（x₂，y₂），則 x₁+x₂=-，x₁•x₂=0．
∴=（x₁+x₂，kx₁++kx₂+ ）=（， ）．
由B（0，），A，∴=（-， ）．∵向量與共線，
∴•-（-）（ ）=0，=0，∴k=1．
即存在常數(shù) k=1 滿足題中的條件．
分析：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)M（x，y），由題意得點(diǎn)F（，0），，化簡可得曲線C的方程．
（Ⅱ） 直線l經(jīng)過圓和y軸的交點(diǎn)（0，），直線l與曲線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，故直線l與曲線C不能相切，k≠0．
（Ⅲ） 把直線l的方程代入曲線C的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求得 的坐標(biāo)，再利用
與共線，求出 k值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直接利用條件求點(diǎn)的軌跡方程的方法，向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，兩個(gè)向量共線的性質(zhì)，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的難點(diǎn)．