在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)F與點(diǎn)E(-數(shù)學(xué)公式,0)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱,M是動(dòng)點(diǎn),且直線EM與FM的斜率之積等于數(shù)學(xué)公式.設(shè)點(diǎn)M的軌跡為曲線C,經(jīng)過點(diǎn)數(shù)學(xué)公式且斜率為k的直線l與曲線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q.
(Ⅰ)求曲線C的軌跡方程;
(Ⅱ)求k的取值范圍;
(Ⅲ)設(shè)A數(shù)學(xué)公式,曲線C與y軸正半軸的交點(diǎn)為B,是否存在常數(shù)k,使得向量數(shù)學(xué)公式數(shù)學(xué)公式共線?如果存在,求k值;如果不存在,請(qǐng)說明理由.

解:(Ⅰ)設(shè)點(diǎn)M(x,y),由題意得點(diǎn)F(,0),,化簡可得 x2+y2=2,
故曲線C的方程為 x2+y2=2,表示以原點(diǎn)為圓心,以為半徑的圓.
(Ⅱ)∵點(diǎn)是圓和y軸的交點(diǎn),經(jīng)過點(diǎn)且斜率為k的直線l與曲線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q,
∴線l與曲線C不能相切,∴k≠0.
(Ⅲ) 把直線l的方程 y-=k(x-0)代入曲線C的方程 x2+y2=2 得,(1+k2)x2+2kx=0.
設(shè)P(x1,y1 ),Q(x2,y2),則 x1+x2=-,x1•x2=0.
=(x1+x2,kx1++kx2+ )=( ).
由B(0,),A,∴=(- ).∵向量共線,
-(-)( )=0,=0,∴k=1.
即存在常數(shù) k=1 滿足題中的條件.
分析:(Ⅰ)設(shè)點(diǎn)M(x,y),由題意得點(diǎn)F(,0),,化簡可得曲線C的方程.
(Ⅱ) 直線l經(jīng)過圓和y軸的交點(diǎn)(0,),直線l與曲線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn),故直線l與曲線C不能相切,k≠0.
(Ⅲ) 把直線l的方程代入曲線C的方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系,求得 的坐標(biāo),再利用
共線,求出 k值.
點(diǎn)評(píng):本題考查直接利用條件求點(diǎn)的軌跡方程的方法,向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算,兩個(gè)向量共線的性質(zhì),準(zhǔn)確計(jì)算是解題的難點(diǎn).
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在平面直角坐標(biāo)系xOy中,雙曲線中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸上,一條漸近線方程為x-2y=0,則它的離心率為( 。
A、
5
B、
5
2
C、
3
D、2

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在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知直線l的參數(shù)方程為
x=2t-1 
y=4-2t .
(參數(shù)t∈R),以直角坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立相應(yīng)的極坐標(biāo)系.在此極坐標(biāo)系中,若圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ,則圓心C到直線l的距離為
 

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(坐標(biāo)系與參數(shù)方程) 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的參數(shù)方程為
x=2cosθ
y=2sinθ+2
 (參數(shù)θ∈[0,2π)),若以原點(diǎn)為極點(diǎn),射線ox為極軸建立極坐標(biāo)系,則圓C的圓心的極坐標(biāo)為
 
,圓C的極坐標(biāo)方程為
 

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(2012•廣東)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線3x+4y-5=0與圓x2+y2=4相交于A、B兩點(diǎn),則弦AB的長等于( 。

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如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,銳角α和鈍角β的終邊分別與單位圓交于A,B兩點(diǎn).
(Ⅰ)若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是
3
5
,點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是
12
13
,求sin(α+β)的值;
(Ⅱ) 若|AB|=
3
2
,求
OA
OB
的值.

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