Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ln（x+2），
（1）求函數(shù)y=f（x）-2x 的單調(diào)區(qū)間；   
（2）對任意正整數(shù)n比較 與 的大小，并加以證明；
（3）（實(shí)驗(yàn)班學(xué)生必答題 10分）如果不等式 在（-2，+∞）內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（x）=ln（x+2），知y=f（x）-2x=ln（x+2）-2x，由x+2＞0，得x＞-2．所以，由此能求出函數(shù)y=f（x）-2x 的單調(diào)區(qū)間．
（2）＞．證明：由f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，知，設(shè)g（n）=，則=＜0，g（n）在[1，+∞）上是減函數(shù)，由此證明＞．
（3）由，得，設(shè)g（x）=a[ln（x+2）-（x+2）]，p（x）=，不等式 在（-2，+∞）內(nèi)恒成立，等價于當(dāng)x∈（-2，+∞）時，[g（x）]_min≥[p（x）]_max．由此能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解答：解：（1）∵f（x）=ln（x+2），
∴y=f（x）-2x=ln（x+2）-2x，
∵x+2＞0，
∴x＞-2．
，
由＞0，
得x＜-，
∴y=f（x）-2x的遞增區(qū)間是（-2，-）．
由＜0，
得x＞-，
∴y=f（x）-2x的遞減區(qū)間是（-，+∞）．
（2）＞．
證明：∵f（x）=ln（x+2），
∴x＞-2，，
∴f（x）在（-2，+∞）上是增函數(shù)，
∵n是任意正整數(shù)，
∴在[1，+∞）上是減函數(shù)，
∴在[1，+∞）上的最小值，
設(shè)g（n）=，
則=＜0，
∴g（n）在[1，+∞）上是減函數(shù)，
∴g（n）在[1，+∞）上的最大值g（n）_max=g（1）=．
∵=1n2-ln（）=ln＞ln1=0，
∴．
∴＞．
（3）∵f（x）=ln（x+2），
∴由，
得 ，
∴，
設(shè)g（x）=a[ln（x+2）-（x+2）]，p（x）=，
不等式 在（-2，+∞）內(nèi)恒成立，
等價于當(dāng)x∈（-2，+∞）時，[g（x）]_min≥[p（x）]_max．
∵，
令=0，得x=-1．
①當(dāng)a＞0時，
x∈（-2，-1）時，g′（x）＞0，g（x）是增函數(shù)；
x∈（-1，+∞）時，g′（x）＜0，g（x）是減函數(shù)；
∴g（x）有最大值g（-1），無最小值．不合題意．
②當(dāng)a=0時，g（x）=0，不合題意；
③當(dāng)a＜0時，
x∈（-2，-1）時，g′（x）＜0，g（x）是減函數(shù)；
x∈（-1，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）是增函數(shù)；
∴g（x）有最小值g（x）_min=g（-1）=-a．
綜上所述，當(dāng)a＜0時，g（x）有最小值g（x）_min=g（-1）=-a．
p（x）==，
∴．
∵[g（x）]_min≥[p（x）]_max，
∴，
∴a．
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，-]．
點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)最值中的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．小題對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，要求學(xué)生理解“存在”、“恒成立”，以及運(yùn)用一般與特殊的關(guān)系進(jìn)行否定，本題有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易出錯．