Question

已知f（x）=-x²+4x，給定x₁，數(shù)列{x_n}滿足x_n=f（x_n-1）（n=2，3，4，…），若無窮個(gè)項(xiàng)的數(shù)列{x_n}中的項(xiàng)能取的不同的值為有限個(gè)，則x₁的不同的值的個(gè)數(shù)m滿足（ ）
A．m=0
B．1≤m≤5
C．m＞5且m只有有窮個(gè)
D．m有無窮個(gè)

Answer 1

【答案】分析：由題設(shè)，可對(duì)x_n=f（x_n-1）（n=2，3，4，…），進(jìn)行變形，得到x_n-1+4=，由此關(guān)系對(duì)任意的n=2，3，4，…，都成立，由此得到x_n-2+4=，…，x₁+4=，各式相乘得出x₁的表達(dá)式，再由題設(shè)中數(shù)列{x_n}中的項(xiàng)能取的不同的值為有限個(gè)判斷出x₁的不同的值的個(gè)數(shù)m．
解答：解：由題意（x_n-1）²+4（x_n-1）=x_n，即（x_n-1+4）×（x_n-1）=x_n，即x_n-1+4=，
故有x_n-2+4=，…，x₁+4=
各式相乘得：（x₁+4）（x₂+4）（x₃+4）（x₄+4）…（x_n-1+4）=
∴x₁=
x_n能取得的值為有限的，而被除的部分（x₁+4）（x₂+4）（x₃+4）（x₄+4）…（x_n-1+4）的值隨著n的變化面變化，知x₁的不同取值有無窮個(gè)，故m的取值為無窮個(gè)
故選D
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，解題的關(guān)鍵是根據(jù)所給的數(shù)列的遞推關(guān)系，構(gòu)造出x₁的表達(dá)式，再由所得的形式判斷出它的取值的個(gè)數(shù)，本題比較抽象，較難理解，此類題易因?yàn)椴焕斫舛鴮?dǎo)致無法下手，千百萬解題失敗，題后要注意總結(jié)本題的做題規(guī)律及問題轉(zhuǎn)化的依據(jù)，本題在變形過程中用到了累乘的技巧，積累一些變形技巧對(duì)解題很有幫助．