Question

7．已知函數(shù)f（x）=xlnx+ax²-（2a+l）x+1，其中a＞0．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）對于任意的x∈[a，+∞），都有f（x）≥a³-a-$\frac{1}{8}$，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）對于任意的x∈[a，+∞），都有f（x）≥a²-a-$\frac{1}{8}$，轉(zhuǎn)化為f（x）_min≥a²-a-$\frac{1}{8}$，多次構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值即可求函數(shù)求實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）函數(shù)的定義域為（0，+∞），
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=lnx+1+2ax-2a-1=lnx+2a（x-1），
∵a＞0，
∴當(dāng)0＜x＜1時，lnx＜0，2a（x-1）＜0，此時f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，
當(dāng)x＞1時，lnx＞0，2a（x-1）＞0，此時f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（1，+∞），遞減區(qū)間是（0，1）；
（2）①當(dāng)0＜a＜1時，由（1）知，f（x）在[a，1）上單調(diào)遞減，f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴對任意的x∈[a，+∞），都有f（x）≥f（1）=-a，
∵對于任意的x∈[a，+∞），都有f（x）≥a³-a-$\frac{1}{8}$，
∴-a≥a³-a-$\frac{1}{8}$，即a³≤$\frac{1}{8}$，得a≤$\frac{1}{2}$，
∴當(dāng)0＜a≤$\frac{1}{2}$時，對于任意的x∈[a，+∞），都有f（x）≥a³-a-$\frac{1}{8}$，
②求當(dāng)a≥1時，[a，+∞）⊆[1，+∞），
由（1）得f（x）在[a，+∞）上單調(diào)遞增，
∴對于任意的x∈[a，+∞），有f（x）≥f（a）=alna+a³-2a²-a+1，
∵對于任意的x∈[a，+∞），都有f（x）≥a³-a-$\frac{1}{8}$，
∴alna+a³-2a²-a+1≥a³-a-$\frac{1}{8}$，
即alna-2a²+$\frac{9}{8}$≥0
設(shè)g（a）=alna-2a²+$\frac{9}{8}$，a≥1，
則g′（a）=lna-4a+1，
設(shè)h（a）=lna-4a+1，a≥1，
則h′（a）=$\frac{1}{a}$-4＜0，
∴h（a）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，
則當(dāng)a≥1時，g′（a）=h（a）≤h（1）=-3＜0，
則g（a）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)a≥1時，g（a）≤g（1）=-$\frac{7}{8}$＜0，
此時不等式alna-2a²+$\frac{9}{8}$≥0不成立，
綜上①②，所求a的取值范圍是（0，$\frac{1}{2}$]．

點評 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性，最值之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的運算能力，綜合性較強，運算量較大．