Question

數列{a_n}的首項為1，前n項和是S_n，存在常數A，B使a_n+S_n=An+B對任意正整數n都成立．
（1）設A=0，求證：數列{a_n}是等比數列；
（2）設數列{a_n}是等差數列，若p＜q，且

1

Sp

+

1

Sq

=

1

S11

，求p，q的值．
（3）設A＞0，A≠1，且

an

an+1

≤M對任意正整數n都成立，求M的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）A=0時，a_n+S_n=B，得出當n≥2時，由條件得，a_n-a_n-1+（S_n-S_n-1）=0即

an

an-1

=

1

2

，從而有數列{a_n}是等比數列；
（Ⅱ）設數列的公差為d，分別令n=1，2，3得關于A，B，C的方程，解得A，B，C．從而得出等差數列{a_n}是常數列，結合題中條件得出關于p，q的方程即可求得求p，q的值；
（Ⅲ）當n=1時，得到B=2-A所以a_n+S_n=An+（2-A），當n≥1時，由題意得出數列{a_n-A}是公比為

1

2

的等比數列，下面對A進行分類討論：①當A＞1時②當0＜A＜1時．利用不等式的放縮即可得出M的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）A=0時，a_n+S_n=B，
當n≥2時，由，{

an+Sn=B an-1+Sn-1=B

得，a_n-a_n-1+（S_n-S_n-1）=0
即

an

an-1

=

1

2

，所以，數列{a_n}是等比數列．（4分）
（Ⅱ）設數列的公差為d，分別令n=1，2，3得：，
{

a1+S1=A+B a2+S2=2A+B a3+S3=3A+B

，即，{

2=A+B 2d+3=2A+B 5d+4=3A+B

，解得，{

A=1 B=1 d=0

，
即等差數列{a_n}是常數列，所以S_n=n；（7分）
又

1

Sp

+

1

Sq

=

1

S11

，則

1

p

+

1

q

=

1

11

，pq-11p-11q=0?（p-11）（q-11）=11²，
因p＜q，所以

p-11=1 q-11=112

，解得

p=12 q=132

．（10分）
（Ⅲ）當n=1時，2=A+B，所以B=2-A
所以a_n+S_n=An+（2-A），
當n≥1時，由，{

an+Sn=An+2-A an+1+Sn+1=A(n+1)+2-A

得a_n+1-a_n+（S_n+1-S_n）=A，
即an+1=

1

2

an+

1

2

A
所以an+1-A=

1

2

(an-A)，又a₁-A≠0
即數列{a_n-A}是公比為

1

2

的等比數列，
所以an-A=(a1-A)(

1

2

)n-1，即an=(1-A)(

1

2

)n-1+A，（12分）

an

an+1

=

2nA-2A+2

2nA-A+1

=1+

1-A

(2n-1)A+1

，
①當A＞1時

an

an+1

=1+

1-A

(2n-1)A+1

＜1
且

an

an+1

的值隨n的增大而減小，
即

a1

a2

＞

a2

a3

＞

a3

a4

＞…，
所以，M≥

a1

a2

，即M的取值范圍是[

2

A+1

，+∞)；（14分）
②當0＜A＜1時

an

an+1

=1+

1-A

(2n-1)A+1

＜2
且

an

an+1

的值隨n的增大而增大，
即

a1

a2

＜

a2

a3

＜

a3

a4

＜…＜2，
所以，M≥2，
綜上即M的取值范圍是[2，+∞）．（16分）

點評：本小題主要考查等比關系的確定、數列與不等式的綜合、不等式的性質等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．