Question

如圖長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=2

3

，CC₁=

2

．
（1）求BC₁與面ACC₁A₁所成角的大小；
（2）求二面角C₁-BD-C的大小．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面所成的角

專題：空間角

分析：（1）根據(jù)線面角的定義即可求BC₁與面ACC₁A₁所成角的大�。�
（2）根據(jù)二面角的定義，求出二面角的平面角，根據(jù)三角形的邊角關(guān)系，即可求二面角C₁-BD-C的大�。�

解答： 解：（1）∵AB=AD=2

3

，
∴底面ABCD是正方形，連結(jié)AC交BD于O，
則BD⊥AC，
則BD⊥面ACC₁A₁，
則∠BC₁O是BC₁與面ACC₁A₁所成的角，
∵AB=AD=2

3

，CC₁=

2

．
∴AC=2

6

，OC=OB=

6

，BC₁=

14

，
則sin∠BC₁O=

OB

BC1

=

6

14

=

21

7

．
則∠BC₁O=arcsin

21

7

．
即BC₁與面ACC₁A₁所成角的大小為arcsin

21

7

．
（2）∵AB=AD=2

3

，CC₁=

2

．
∴DC₁=BC₁=

14

，
則△DC₁B是等腰三角形，則OC₁⊥BD，
即∠C₁OC為二面角C₁-BD-C的平面角，
則tan∠C₁OC=

CC1

OC

=

2

6

=

3

3

，
即∠C₁OC=

π

6

，
即二面角C₁-BD-C的大小為

π

6

．

點(diǎn)評：本題主要考查直線和平面所成的角以及二面角的大小，根據(jù)定義求出相應(yīng)的平面角是解決本題的關(guān)鍵．