Question

10．某個體戶計劃經(jīng)銷A，B兩種商品，據(jù)調(diào)查統(tǒng)計，當投資額為x（x≥0）萬元時，在經(jīng)銷A，B商品中所獲得的收益分別為f（x）萬元與g（x）萬元，其中f（x）=a（x-1）+2，g（x）=6ln（x+b），（a＞0，b＞0）已知投資額為零時，收益為零．
（1）求a、b的值；
（2）如果該個體戶準備投入5萬元經(jīng)銷這兩種商品，請你幫他制定一個資金投入方案，使他能獲得最大利潤．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件真假通過f（0）=0，g（0）=01就a，b即可．
（2）設(shè)投入經(jīng)銷B商品的資金為x萬元（0＜x≤5），則投入經(jīng)銷A商品的資金為（5-x）萬元，設(shè)所獲得的收益為S（x）萬元，則S（x）=2（5-x）+6ln（x+1）=6ln（x+1）-2x+10（0＜x≤5）．通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求解函數(shù)的最值即可．

解答 解：（1）由投資額為零時收益為零，可知f（0）=-a+2=0，g（0）=6lnb=0，
解得a=2，b=1．
（2）由（1）可得f（x）=2x，g（x）=6ln（x+1）．
設(shè)投入經(jīng)銷B商品的資金為x萬元（0＜x≤5），則投入經(jīng)銷A商品的資金為（5-x）萬元，
設(shè)所獲得的收益為S（x）萬元，則S（x）=2（5-x）+6ln（x+1）=6ln（x+1）-2x+10（0＜x≤5）．
S′（x）=，-2，令S′（x）=0，得x=2．
當0＜x＜2時，S′（x）＞0，函數(shù)S（x）單調(diào)遞增；
當2＜x≤5時，S′（x）＜0，函數(shù)S（x）單調(diào)遞減．
∴當x=2時，函數(shù)S（x）取得最大值，S（x）_max=S（2）=6ln3+6≈12.6萬元．
∴當投入經(jīng)銷A商品3萬元，B商品2萬元時，他可獲得最大收益，收益的最大值約為12.6萬元．

點評 本題考查函數(shù)的解析式以及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．