Question

如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=

2

AB，E是PA的中點．
（Ⅰ）判斷直線PC與平面BDE的位置關(guān)系，并加以證明；
（Ⅱ）求二面角E-BD-A的大�。�

Answer 1

分析：（Ⅰ）直線PC∥平面EBD，連接AC，設(shè)AC∩BD=O，連接EO，證明線面平行，只需證明線線平行EO∥PC即可；
（Ⅱ）先判斷∠EOA是二面角E-BD-C的平面角，再在Rt△EAO中，求二面角E-BD-C的平面角．

解答：解：（Ⅰ）直線PC∥平面EBD
證明：連接AC，設(shè)AC∩BD=O，連接EO
∵四邊形ABCD是正方形，∴O是AC的中點
∵E是PA的中點，∴EO∥PC
PC?平面EBD，EO?平面EBD，∴PC∥平面EBD
（Ⅱ）解：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD
∵BD⊥AC，PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC
∴BD⊥AO，BD⊥EO，
∴∠EOA是二面角E-BD-C的平面角
設(shè)AB=1，則PA=

2

，EA=

2

2

=AO
在Rt△EAO中，∴∠EOA=45°
∴二面角E-BD-C的平面角為45°．

點評：本題考查線面平行，考查面面角，解題的關(guān)鍵是正確運用線面平行的判定，正確作出面面角．